[论文解读] Powers of posinormal operators

Carlos S. Kubrusly, Peter Vieira+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2022

Holomorphic and Operator Theory被引用 4

一句话总结

本文研究了算子幂次下正偏正规性的保持性，表明虽然正偏正规算子的平方不一定是正偏正规的，但在特定条件下，其幂次仍保持正偏正规性：有限下降、联合正偏正规性与共正偏正规性，或半弗雷德霍姆结构。此外，本文证明了拟正偏正规算子在所有幂次下均保持其性质，扩展了关于次正规与主导算子的已知结果。

ABSTRACT

Square of a posinormal operator is not necessarily posinormal$.$ But (i) powers of quasiposinormal operators are quasiposinormal and, under closed ranges assumption, powers of (ii) posinormal operators are posinormal, (iii) of operators that are both posinormal and coposinormal are posinormal and coposinormal, and (iv) of semi-Fredholm posinormal operators are posinormal.

研究动机与目标

• 确定正偏正规算子的幂次是否仍为正偏正规，解决算子理论中的一个开放问题。
• 识别正偏正规算子的 n 次幂仍为正偏正规的充分条件。
• 将关于拟正偏正规与次正规算子的已知结果推广至更广泛的算子类。
• 阐明正偏正规性、拟正偏正规性与谱性质（如有限下降与半弗雷德霍姆结构）之间的关系。

提出的方法

• 利用正偏正规性等价于范围包含条件 $\mathcal{R}(T) \subseteq \mathcal{R}(T^*)$ 以及 Douglas 引理分析算子不等式。
• 应用上升与下降的概念刻画正偏正规与拟正偏正规算子幂次的核行为。
• 运用 Banach 闭值域定理将 $T^n$ 的闭值域与半弗雷德霍姆性质及正偏正规性保持性联系起来。
• 利用拟正偏正规算子满足 $\mathcal{N}(T^n) = \mathcal{N}(T)$ 对所有 $n \geq 1$ 成立的事实，确保 $T^n$ 仍为拟正偏正规。
• 通过利用半弗雷德霍姆算子的有限维核与闭值域的刻画，证明 $T^n$ 具有闭值域，因而为正偏正规。
• 分析超正偏正规算子作为推广，表明在辅助算子 $P$ 或 $Q$ 的值域稠密条件下，其幂次为拟正偏正规或共拟正偏正规。

实验结果

研究问题

• RQ1 正偏正规算子的平方是否一定是正偏正规的？
• RQ2 在何种条件下，正偏正规算子的幂次也保持正偏正规性？
• RQ3 拟正偏正规性是否意味着算子的所有幂次均保持拟正偏正规？
• RQ4 当算子具有有限下降或为半弗雷德霍姆算子时，其幂次的正偏正规性是否仍可保持？
• RQ5 联合正偏正规性与共正偏正规性如何影响正偏正规性在幂次下的保持？

主要发现

• 正偏正规算子的平方不一定是正偏正规的，为一个长期存在的开放问题提供了否定答案。
• 每个自然数次幂的拟正偏正规算子仍是拟正偏正规的，推广了关于次正规算子的已知结果。
• 若 $T$ 为正偏正规且具有有限下降，则对所有 $n \geq 1$，$T^n$ 均为正偏正规，即使不假设值域闭。
• 若 $T$ 同时为正偏正规与共正偏正规，则对所有 $n \geq 1$，$T^n$ 均为正偏正规与共正偏正规，保持联合性质。
• 对于半弗雷德霍姆正偏正规算子，由于 $\mathcal{R}(T^n)$ 的闭性，对所有 $n \geq 1$，$T^n$ 均为正偏正规且半弗雷德霍姆。
• 超正偏正规算子的幂次在辅助算子 $P$ 或 $Q$ 的值域稠密时，为拟正偏正规或共拟正偏正规。