[论文解读] Powers of two weighted sum of the first p divided Bernoulli numbers modulo p

Claire Levaillant|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2020

Advanced Mathematical Identities参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文建立了一种子同余关系，将模 $p$ 下加权的伯努利数之和（权重为 $1/2^k$）与阿戈-吉乌阿商数以及 $p-2$ 个字母上的偶上升排列的组合计数联系起来。通过 $p$-进分析和第一类斯特林数，本文推导出涉及调和和与欧拉数的显式 $p$-进展开式与同余式，从而对威费里希素数及整除费马商 $q_p(2)$ 的素数提供了组合表征。

ABSTRACT

We show that, modulo some odd prime p, the powers of two weighted sum of the first p-2 divided Bernoulli numbers equals the Agoh-Giuga quotient plus twice the number of permutations on p-2 letters with an even number of ascents and distinct from the identity. We provide a combinatorial characterization of Wieferich primes, as well as of primes p for which p^2 divides the Fermat quotient q_p(2).

研究动机与目标

• 推导模 $p$ 下的 $p$-进加权和 $\sum_{k=1}^{p-2} \frac{\mathcal{B}_k}{2^k}$ 的同余式，其中 $\mathcal{B}_k = B_k/k$ 为除法伯努利数。
• 将该和与阿戈-吉乌阿商数以及 $p-2$ 个字母上的偶上升排列数联系起来，且不同于恒等式。
• 通过 $p$-进分析，对满足 $p^2$ 整除费马商 $q_p(2) = (2^{p-1} - 1)/p$ 的素数 $p$，以及威费里希素数，提供组合表征。
• 将这些结果推广至涉及调和数的广义和，并通过 $p$-进展开式将其与沃尔斯滕霍尔姆素数相联系。

提出的方法

• 利用第一类无符号斯特林数的两种等价定义，通过其循环结构与多项式系数解释，推导出涉及 $p!$ 和 $(p+1)!$ 模 $p^2$ 的恒等式。
• 将多项式 $x(x-1)\cdots(x-p+1)$ 在 $x = -2$ 处取值，得到一个关键恒等式，将阶乘与斯特林数联系起来。
• 应用冯·施陶特-克劳森定理与艾玛·莱默的结果，将伯努利数的 $p$-进性质与加权和联系起来。
• 通过将整数幂和与伯努利数及欧拉和联系，推导模 $p^2$ 下的同余式。
• 应用艾森斯坦公式表示费马商 $q_p(2)$ 及调和数恒等式，推导出涉及交错和与欧拉数的新同余式。
• 在 $\mathbb{Z}_p[X]$ 中构造多项式 $X^{p-1} + (p-1)!$ 的 $p$-进因式分解，将根与系数联系至 $q_p(2)$ 与组合计数 $w_p$。

实验结果

研究问题

• RQ1 模 $p$ 下的加权和 $\sum_{k=1}^{p-2} \frac{\mathcal{B}_k}{2^k}$ 如何用已知的算术不变量与组合对象表示？
• RQ2 费马商 $q_p(2)$ 与 $p-2$ 个字母上的偶上升排列数之间存在何种精确的 $p$-进关系？
• RQ3 在何种条件下 $p^2$ 整除 $q_p(2)$，并可否通过欧拉数进行组合表征？
• RQ4 涉及伯努利数、调和数与欧拉数的 $p$-进展开式之间如何相互关联？
• RQ5 多项式 $X^{p-1} + (p-1)!$ 在 $\mathbb{Z}_p[X]$ 中能否用于表征 $q_p(2) + w_p$ 模 $p$ 为零的条件？

主要发现

• 模 $p$ 下，和 $\sum_{k=1}^{p-2} \frac{\mathcal{B}_k}{2^k}$ 等于阿戈-吉乌阿商数加上两倍的 $p-2$ 个字母上偶上升排列数（排除恒等排列）。
• 费马商 $q_p(2)$ 模 $p$ 同余于 $2w_p + 1$，其中 $w_p$ 为 $p-2$ 个字母上偶上升排列数（排除恒等排列）。
• 同余式 $\sum_{k=1}^{p-2} \frac{\mathcal{B}_k}{2^k} \equiv 0 \pmod{p}$ 成立当且仅当 $q_p(2) \equiv -w_p \pmod{p}$，将该和与费马商联系起来。
• 多项式 $X^{p-1} + (p-1)!$ 在 $\mathbb{Z}_p[X]$ 中可因式分解为 $p$-进根的乘积，且在 $X=2$ 处根的第二 $p$-进数字为零，当且仅当同余式 $q_p(2) + w_p \equiv 0 \pmod{p}$ 成立。
• 对任意 $k$ 满足 $3 \leq k \leq p-1$，和 $\sum_{l=1}^{p-2} \frac{B_l}{l k^l} \equiv 0 \pmod{p}$ 成立当且仅当 $q_p(k) \equiv -w_p \pmod{p}$，将结果推广至其他底数。
• 结果与已知的调和和同余式一致，本文建议进一步研究此类和可能揭示威尔逊素数与超威费里希素数存在的线索。