[论文解读] Practical Black Box Hamiltonian Learning

Andi Gu, Łukasz Cincio+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2022

Quantum many-body systems被引用 6

一句话总结

本文提出了一种实用的黑箱哈密顿量学习协议，通过利用导数估计和精确误差界，改进了与哈密顿量局部性 $k$ 相关的缩放性能。该方法实现了单位和吉布斯态动力学的最优超参数选择（如演化时间与温度），并通过迭代换位子范数的改进理论界，显著降低了查询成本，实现了高效的80量子比特模拟。

ABSTRACT

We study the problem of learning the parameters for the Hamiltonian of a quantum many-body system, given limited access to the system. In this work, we build upon recent approaches to Hamiltonian learning via derivative estimation. We propose a protocol that improves the scaling dependence of prior works, particularly with respect to parameters relating to the structure of the Hamiltonian (e.g., its locality $k$). Furthermore, by deriving exact bounds on the performance of our protocol, we are able to provide a precise numerical prescription for theoretically optimal settings of hyperparameters in our learning protocol, such as the maximum evolution time (when learning with unitary dynamics) or minimum temperature (when learning with Gibbs states). Thanks to these improvements, our protocol is practical for large problems: we demonstrate this with a numerical simulation of our protocol on an 80-qubit system.

研究动机与目标

• 为解决在有限经典访问条件下高效学习量子多体系统哈密顿量的挑战。
• 通过改进对哈密顿量局部性 $k$ 和系统尺寸的依赖关系，克服先前方法的指数资源缩放问题。
• 利用从迭代换位子范数导出的精确误差界，提供理论上最优的超参数设置（如演化时间、温度）。
• 通过严格的性能边界和查询优化，使哈密顿量学习在大规模系统（如80量子比特系统）中具有实际应用可行性。
• 在仅限经典交互、不依赖可信模拟器的量子通道的前提下，建立一种适用于实验实现的哈密顿量学习框架。

提出的方法

• 该协议利用对时间演化态 $\rho(t) = e^{-iHt}\rho_0 e^{iHt}$ 或吉布斯态 $\rho(\beta) = e^{-\beta H}/\Tr(e^{-\beta H})$ 的经典访问，可调控 $t$ 或 $\beta$，并测量局部可观测量 $O$。
• 定义函数 $f_{\text{SPAM}}(x)$ 为期望值 $\Tr(O\rho(x))$，适用于单位演化或热态，从而支持基于导数的学习方法。
• 利用相互作用图的平均度 $\overline{\mathscr{D}}$ 推导出迭代换位子范数 $\| [H^m, P] \|$ 的精确界，取代先前方法中对 $\mathscr{D}$ 的高估。
• 提出两个优化问题：其一为通过选择最优演化时间 $A$ 和时间步数 $L$ 来最小化建模误差；其二为通过基于信号强度分配测量次数来最小化噪声误差。
• 通过拉格朗日乘数法推导出最优查询分配，得到 $N_\ell \propto \sqrt{c_\ell}$，其中 $c_\ell$ 依赖于切比雪夫多项式项与信号方差。
• 理论误差界与 $\overline{\mathscr{D}}$ 呈线性关系，数值模拟证实，用 $\overline{\mathscr{D}}$ 替代 $\mathscr{D}$ 可使查询次数减少 $\gtrsim (\mathscr{D}/\overline{\mathscr{D}})^2$ 倍。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过改进与哈密顿量局部性 $k$ 相关的缩放性能，使哈密顿量学习在大规模系统中更具实用性？
• RQ2 如何收紧理论误差界，以实现对演化时间与温度等超参数的精确、最优选择？
• RQ3 用平均度 $\overline{\mathscr{D}}$ 替代最坏情况下的相互作用度 $\mathscr{D}$，对算法性能与查询效率有何影响？
• RQ4 如何在时间步之间最优分配测量资源，以最小化导数估计中的噪声误差？
• RQ5 使用 $\overline{\mathscr{D}}$ 而非 $\mathscr{D}$，在多大程度上提升了理论边界与哈密顿量学习中经验误差的一致性？

主要发现

• 通过用平均度 $\overline{\mathscr{D}}$ 替代最坏情况下的度 $\mathscr{D}$，协议显著减少了所需查询次数，性能提升因子达 $\gtrsim (\mathscr{D}/\overline{\mathscr{D}})^2$。
• 数值模拟表明，基于 $\overline{\mathscr{D}}$ 的启发式边界与迭代换位子范数的经验值高度吻合，验证了其在实际中的可用性。
• 理论建模误差界与 $\overline{\mathscr{D}}$ 呈线性关系，且使用 $\overline{\mathscr{D}}$ 时，理论与模拟结果表现出强烈的吻合。
• 通过 $N_\ell \propto \sqrt{c_\ell}$ 实现的最优测量分配可降低噪声误差并提升学习保真度，且所推导公式提供了闭式解。
• 该方法成功实现了80量子比特哈密顿量学习，证明了其在经典访问约束下对大规模量子系统的实用性。
• 利用迭代换位子范数的精确边界，可实现演化时间 $A$ 与逆温度 $\beta$ 的理论最优选择，从而同时最小化建模误差与噪声误差。