[论文解读] Practical optimization for hybrid quantum-classical algorithms

Gian Giacomo Guerreschi, Mikhail Smelyanskiy|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 102

一句话总结

这篇论文分析有限精度和优化方法选择如何影响变分混合量子-经典算法的性能，介绍准牛顿方法，并将其应用于 QAOA，给出具体成本估计。

ABSTRACT

A novel class of hybrid quantum-classical algorithms based on the variational approach have recently emerged from separate proposals addressing, for example, quantum chemistry and combinatorial problems. These algorithms provide an approximate solution to the problem at hand by encoding it in the state of a quantum computer. The operations used to prepare the state are not a priori fixed but, quite the opposite, are subjected to a classical optimization procedure that modifies the quantum gates and improves the quality of the approximate solution. While the quantum hardware determines the size of the problem and what states are achievable (limited, respectively, by the number of qubits and by the kind and number of possible quantum gates), it is the classical optimization procedure that determines the way in which the quantum states are explored and whether the best available solution is actually reached. In addition, the quantities required in the optimization, for example the objective function itself, have to be estimated with finite precision in any experimental implementation. While it is desirable to have very precise estimates, this comes at the cost of repeating the state preparation and measurement multiple times. Here we analyze the competing requirements of high precision and low number of repetitions and study how the overall performance of the variational algorithm is affected by the precision level and the choice of the optimization method. Finally, this study introduces quasi-Newton optimization methods in the general context of hybrid variational algorithms and presents quantitative results for the Quantum Approximate Optimization Algorithm.

研究动机与目标

• 激励并表征一种由经典优化器调节量子门参数的混合量子‑经典算法
• 量化目标函数评估和梯度的有限精度如何影响重复成本和优化性能
• 在此背景下引入准牛顿优化方法，并比较基于梯度的方法与无导数方法
• 为在 QAOA 内的高效参数更新提供解析梯度和有限差分梯度的公式
• 在 MAX-CUT 的 QAOA 上演示该框架并讨论实际意义

提出的方法

• 描述包含态制备、测量和经典优化的混合算法结构
• 将目标表达为可观测量 C，并通过 Pauli 项的线性组合进行测量
• 量化估计 F_p(γ) 以精度 ε 及其梯度以精度 ε′ 所需的重复成本 M
• 给出目标的有限差分和解析梯度评估，包括误差项
• 利用基于电路的估计量推导 QAOA 中 γ 型和 β 型参数的梯度分量
• 在有限精度下应用准牛顿（BFGS）优化，并与无导数的 Nelder-Mead 进行比较
• 将公式和成本专门化为应用于随机 3-正则图上的 MAX-CUT 的 QAOA 算法

实验结果

研究问题

• RQ1 有限精度和测量重复如何影响混合量子-经典算法中基于梯度的优化效率？
• RQ2 在这种情境下，有限差分与解析梯度评估的相对成本与收益是什么？
• RQ3 准牛顿方法是否能为变分量子电路提供相对于无导数方法的实际优势？
• RQ4 就目标值而言，QAOA 的性能（以目标值计）如何随 p 的增加以及像 MAX-CUT 这类随机图上的实例而标度？
• RQ5 在 QAOA 中获得梯度和目标评估的具体重复成本估计是多少？

主要发现

• 在给定准确梯度信息的前提下，基于梯度的优化在有限精度约束下可以优于无导数方法
• 解析梯度公式使基于电路的测量能够高效估计，并且可以降低重复成本
• 有限差分梯度估计引入额外的重复成本，取决于 δ 和 ε′，影响整体优化效率
• 梯度估计精度的下界（ε′ ≥ (1/10)ε）可防止梯度估计成本暴增
• 将 QAOA 应用于随机 3-正则图上的 MAX-CUT 展示了该框架的适用性并强调了初始化的考虑因素
• 数值实验显示精度和初始条件如何影响所找到解的质量以及观察到的重复成本