[论文解读] Pragmatic SAE procedure in the Schrodinger equation for the inverse-square-like potentials

Teimuraz Nadareishvili, Anzor Khelashvili|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2012

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文提出了一种针对反平方势类体系中径向薛定谔方程的自伴延拓（SAE）程序的实用方法，表明为确保自伴性，必须在特定参数范围内保留非正则解。该方法为径向波函数建立了边界条件，使转移性势能体系能够获得一致解，并得出物理上有意义的结果，包括在库仑势和克莱因-戈尔登体系中预测出类似水熊态的能级。

ABSTRACT

The Self-Adjoint Extension in the Schrodinger equation for potentials behaved as an attractive inverse square at the origin is critically reviewed. Original results are also presented. It is shown that the additional non-regular solutions must be retained for definite interval of parameters, which requires a necessity of performing a Self-Adjoint Extension (SAE) procedure of radial Hamiltonian.The Pragmatic approach is used and some of its consequences are considered for wide class of transitive potentials. Our consideration is based on the established earlier by us a boundary condition for the radial wave function and the corresponding consequences are derived. Various relevant applications are presented as well. They are: inverse square potential in the Schrodinger equation is solved when the additional non-regular solution is retained. Valence electron model and the Klein-Gordon equation with the Coulomb potential is considered and the hydrino -like levels are discussed.

研究动机与目标

• 解决在原点处反平方类势能下径向薛定谔方程的自伴性问题。
• 为特定参数区间内物理上保留非正则解提供合理依据。
• 基于前期工作，建立径向波函数的一致边界条件。
• 将实用的SAE程序推广至一大类转移性势能体系。
• 探索在量子模型中的应用，包括价电子体系以及库仑势下的克莱因-戈尔登方程。

提出的方法

• 将自伴延拓（SAE）程序应用于含反平方势的径向薛定谔方程。
• 基于前期理论工作，推导出径向波函数的边界条件。
• 为保持自伴性，在特定参数范围内保留非正则解。
• 采用一种实用方法，优先考虑奇异情况下的物理一致性，而非数学严谨性。
• 通过解析延拓与对称性分析，将该方法扩展至转移性势能体系。
• 将该形式化方法应用于库仑势在薛定谔方程和克莱因-戈尔登方程中的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，必须在含反平方势的径向薛定谔方程中保留非正则解？
• RQ2 如何为奇异势能问题中的径向波函数定义一致的边界条件？
• RQ3 在自伴延拓框架中包含非正则解会产生何种物理后果？
• RQ4 实用SAE程序能否推广至一大类转移性势能体系？
• RQ5 所推广的解是否能预测可观测现象，例如在库仑体系中出现类似水熊态的能级？

主要发现

• 为确保反平方势中哈密顿算符的自伴性，必须在特定参数区间内保留非正则解。
• 已建立径向波函数的一致边界条件，从而实现物理上有意义的解空间。
• 在薛定谔方程中，当包含非正则分量时，反平方势可产生解，并导致离散能级。
• 在所提出的SAE框架下，具有库仑势的价电子模型可产生类似水熊态的能级。
• 克莱因-戈尔登方程在库仑势下也允许非正则解，支持异常束缚态的存在。
• 实用SAE方法为多种量子体系中的奇异势能提供了自洽且可物理解释的解。