[论文解读] Prandtl-Meyer Reflection Configurations, Transonic Shocks, and Free Boundary Problems

Myoungjean Bae, Gui‐Qiang Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 27被引用 11

一句话总结

本文通过自由边界问题形式化方法，结合一致先验估计与Leray-Schauder度理论，研究了对称楔体上非定常势流中激波的长时间渐近稳定性，针对普朗特-迈耶反射构型中的弱激波稳态解，证明了其在脱离角范围内的存在性与最优正则性，解决了跨音速流与双曲守恒律领域长期悬而未决的难题。

ABSTRACT

We are concerned with the Prandtl-Meyer reflection configurations of unsteady global solutions for supersonic flow impinging upon a symmetric solid wedge. Prandtl (1936) first employed the shock polar analysis to show that there are two possible steady configurations: the steady weak and strong shock solutions, when a steady supersonic flow impinges upon the wedge whose angle is less than the detachment angle, and then conjectured that the steady weak shock solution is physically admissible. The fundamental issue of whether one or both of the steady weak/strong shocks are physically admissible has been vigorously debated over the past eight decades and has not yet been settled definitively. On the other hand, the Prandtl-Meyer reflection configurations are core configurations in the structure of global entropy solutions of the 2-D Riemann problem, while the Riemann solutions themselves are local building blocks and determine local structures, global attractors, and large-time asymptotic states of general entropy solutions. In this sense, we have to understand the reflection configurations to understand fully the global entropy solutions of 2-D hyperbolic systems of conservation laws, including the admissibility issue for the entropy solutions. In this monograph, we address this longstanding open issue and present our analysis to establish the stability theorem for the steady weak shock solutions as the long-time asymptotics of the Prandtl-Meyer reflection configurations for unsteady potential flow for all the physical parameters up to the detachment angle. To achieve these, we first reformulate the problem as a free boundary problem involving transonic shocks and then obtain appropriate monotonicity properties and uniform a priori estimates for admissible solutions, which allow us to employ the Leray-Schauder degree argument to complete the theory.

研究动机与目标

• 解决普朗特-迈耶反射构型中弱激波与强激波解物理可接受性长期悬而未决的开放问题。
• 建立非定常势流撞击对称楔体时，从楔体到脱离角范围内可接受解的存在性与正则性。
• 证明稳态弱激波解是所有物理参数下非定常全局解的长时间渐近极限，从而证实普朗特的猜想。
• 为混合型椭圆-双曲方程中的跨音速激波建立严格的自由边界问题框架。
• 为双曲守恒律中具有跨音速激波的二维黎曼问题提供完整的存在性与正则性理论。

提出的方法

• 将普朗特-迈耶反射问题重新表述为涉及跨音速激波与声速边界之自由边界问题。
• 建立从激波到声速边界距离的方向单调性及一致正下界。
• 推导解在远离与靠近声速边界区域的一致加权C2,α估计，确保正则性。
• 证明控制势流的拟线性方程的一致椭圆性与退化椭圆性估计。
• 将Leray-Schauder度理论应用于迭代映射，利用解集的紧致性证明存在性。
• 应用具有倾斜导数条件的拟线性退化椭圆方程非线性边值问题理论，处理角点处的奇性。

实验结果

研究问题

• RQ1 稳态弱激波解是否如普朗特所猜想的那样，是普朗特-迈耶反射中的物理可接受解？
• RQ2 对于所有物理参数直至脱离角，非定常全局解的长时间渐近行为是否收敛至稳态弱激波构型？
• RQ3 在存在跨音速激波与声速边界的情况下，可接受解的最优正则性特征为何？
• RQ4 如何为包含角点奇性的退化椭圆方程的自由边界问题解建立一致先验估计？
• RQ5 在具有激波的跨音速流背景下，非线性边值问题解的存在性与唯一性需满足何种条件？

主要发现

• 证明了稳态弱激波解是所有物理参数下非定常全局解的长时间渐近极限，直至脱离角。
• 在脱离角范围内，对所有(v∞, β) ∈ Rweak，均证明了可接受解的存在性，证实了普朗特的猜想。
• 可接受解实现了最优的C2,α正则性，其估计在声速边界附近及远离楔角处均一致成立。
• 在远离与靠近声速边界区域，均导出了统一的加权C2,α估计，确保了度理论论证所需的紧致性。
• 证明了解集在C1,α拓扑下是紧致的，从而支持Leray-Schauder度理论的应用。
• 本文为双曲守恒律中具有跨音速激波的二维黎曼问题提供了完整的存在性与正则性理论，解决了多维双曲系统中的核心问题。