[论文解读] Pre-alternative algebras and pre-alternative bialgebras

Xiang Ni, Chengming Bai|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2009

Advanced Topics in Algebra参考文献 16被引用 9

一句话总结

本文将预对合代数引入为戴恩里福德双代数和预李代数的‘对合’类比，其中乘法分解为两个相容运算。建立了这些代数的余边界双代数理论，表明预对合双代数等价于对合代数的相空间，并引入了$PA$-方程作为经典杨-Baxter方程的类比。

ABSTRACT

We introduce a notion of pre-alternative algebra which may be seen as an alternative algebra whose product can be decomposed into two pieces which are compatible in a certain way. It is also the "alternative" analogue of a dendriform dialgebra or a pre-Lie algebra. The left and right multiplication operators of a pre-alternative algebra give a bimodule structure of the associated alternative algebra. There exists a (coboundary) bialgebra theory for pre-alternative algebras, namely, pre-alternative bialgebras, which exhibits all the familiar properties of the famous Lie bialgebra theory. In particular, a pre-alternative bialgebra is equivalent to a phase space of an alternative algebra and our study leads to what we called $PA$-equations in a pre-alternative algebra, which are analogues of the classical Yang-Baxter equation.

研究动机与目标

• 定义并研究预对合代数，作为戴恩里福德双代数和预李代数的非结合类比。
• 发展预对合代数的双代数理论，类比于李双代数理论。
• 建立预对合双代数与对合代数相空间之间的等价关系。
• 引入并分析$PA$-方程，作为经典杨-Baxter方程在对合代数中的对应物。
• 探索预对合代数中双模结构与匹配对结构。

提出的方法

• 通过两个双线性运算$\prec$和$\succ$引入预对合代数，其结合子为零，将戴恩里福德双代数推广至对合设定。
• 在预对合代数中定义左乘与右乘算子，并证明它们构成关联对合代数上的双模。
• 利用由元素$r \in A \otimes A$定义的余边界结构构造预对合双代数，其中$r$满足$PA$-方程。
• 建立预对合双代数与对合代数相空间之间的等价关系，推广了大田双构造。
• 将$PA$-方程导出为$A \otimes A \otimes A$中的张量方程组，类比于经典杨-Baxter方程。
• 以对合代数的表示理论为基础，构建双代数结构并证明对偶性性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将戴恩里福德双代数的概念推广至对合代数设定，从而引出一类新的非结合代数？
• RQ2 预对合代数的双代数理论是什么？它如何与李双代数的结构相呼应？
• RQ3 预对合双代数与对合代数相空间之间的确切关系是什么？
• RQ4 $PA$-方程是什么？它们如何作为经典杨-Baxter方程在对合代数中的类比？
• RQ5 预对合代数中的双模与匹配对结构如何支持双代数的构造？

主要发现

• 预对合代数被定义为带有两个双线性运算$\prec$和$\succ$的向量空间，使得左、中、右结合子为零，从而将戴恩里福德双代数推广至对合设定。
• 预对合代数中的左乘与右乘算子构成其关联对合代数上的双模。
• 预对合双代数与对合代数的相空间等价，将曼宁三元组的概念推广至对合设定。
• 由$PA$-方程的斜对称解$r \in A \otimes A$构造余边界预对合双代数。
• $PA$-方程定义为$A_1 = r_{23} \circ r_{12} - r_{13} \circ r_{23} - r_{12} \circ r_{13} = 0$和$A_2 = r_{12} \circ r_{23} - r_{23} \circ r_{13} - r_{13} \circ r_{12} = 0$，它们推广了经典杨-Baxter方程。
• 对于斜对称$r$，$PA$-方程$A_1$与$A_2$等价，且解通过余边界公式$\Delta(x) = (\mathfrak{r}_\circ(x) \otimes 1 - 1 \otimes \mathfrak{l}_\circ(x))r$给出明确定义的预对合双代数结构。