[论文解读] Pre-Calabi-Yau algebras and topological quantum field theories

Maxim Kontsevich, Alex Takeda+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2021

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 9

一句话总结

本文引入了预-卡拉比-丘（pre-Calabi-Yau，pre-CY）结构作为对不满足光滑性或紧致性等有限性条件的A-无穷代数与范畴上卡拉比-丘结构的推广。研究证明，预-CY结构为A-无穷代数的Hochschild链赋予了一个在带装饰黎曼曲面上链的PROP上的作用，从而产生一个由指标为一的环面生成的、部分定义的扩展二维拓扑量子场论（TQFT）。

ABSTRACT

We introduce a notion generalizing Calabi-Yau structures on A-infinity algebras and categories, which we call pre-Calabi-Yau structures. This notion does not need either one of the finiteness conditions (smoothness or compactness) which are required for Calabi-Yau structures to exist. In terms of noncommutative geometry, a pre-CY structure is as a polyvector field satisfying an integrability condition with respect to a noncommutative analogue of the Schouten-Nijenhuis bracket. We show that a pre-CY structure defines an action of a certain PROP of chains on decorated Riemann surfaces. In the language of the cobordism perspective on TQFTs, this gives a partially defined extended 2-dimensional TQFT, whose 2-dimensional cobordisms are generated only by handles of index one. We present some examples of pre-CY structures appearing naturally in geometric and topological contexts.

研究动机与目标

• 通过在A-无穷代数与范畴中去除对光滑性或紧致性的要求，推广卡拉比-丘结构。
• 通过非交换Schouten-Nijenhuis括号，将预-CY结构定义为可积多向量场的非交换类比。
• 通过带标记的带状图的PROP建立Hochschild链上的拓扑场论作用。
• 在几何与拓扑背景下，提供预-CY结构的自然实例，例如具有边界的有限维流形和具有反Canonical截面的代数簇。
• 将预-CY结构与形变理论及非交换几何联系起来，包括极小模型与拉格朗日邻域定理。

提出的方法

• 引入高阶Hochschild上链与它们的图式演算，使用带状图与带装饰曲面。
• 通过微分格的PROP作用于Hochschild链来定义预-CY结构，推广模空间上黎曼曲面的作用。
• 利用项链括号与高阶上链上的循环作用，编码类似于Schouten-Nijenhuis括号的可积性条件。
• 构造带微分、复合运算与定向结构的带标记带状图的PROP，以建模TQFT作用。
• 将该作用应用于Hochschild链，定义一个部分定义的扩展二维TQFT，其中cobordism仅由指标为一的环面生成。
• 建立PROP中偶数维与奇数维分量之间的同构，以处理符号结构与定向问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖光滑性或紧致性条件的前提下，将卡拉比-丘结构推广至A-无穷代数？
• RQ2 可积多向量场的非交换类比是什么？它与Schouten-Nijenhuis括号有何关系？
• RQ3 预-CY结构能否在Hochschild链上诱导出拓扑场论作用？如果是，其底层代数结构为何？
• RQ4 预-CY结构在几何与拓扑上的自然实现是什么？例如在具有边界的流形或具有反Canonical截面的代数簇中？
• RQ5 预-CY结构的形变理论如何与高阶Hochschild上同调及光滑卡拉比-丘结构相关联？

主要发现

• 预-CY结构被定义为通过项链括号满足非交换可积性条件的多向量场，且无需任何有限性条件。
• 预-CY结构在A-无穷代数的Hochschild链上诱导出一个在带装饰黎曼曲面上链的PROP上的作用。
• 该作用实现了一个部分定义的扩展二维TQFT，其中2- cobordism 仅由指标为一的环面生成。
• 带标记带状图的PROP为TQFT运算提供了组合模型，其微分与复合规则编码了拓扑与代数约束。
• 实例包括具有边界的有限维流形（通过Poincaré对偶性对实现），以及存在反Canonical线丛截面的代数簇，它们自然携带预-CY结构。
• 该理论包含一个非交换拉格朗日邻域定理，以及基于Kaledin类与极小模型的预-CY结构形式化判据。