[论文解读] Pre-Poisson submanifolds

Alberto S. Cattaneo, Marco Zambon|ArXiv.org|Oct 30, 2007

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 5

一句话总结

本文在泊松几何中引入了预泊松子流形的概念，证明了泊松流形 $ P $ 的子流形 $ C $ 可以共 isotropically 嵌入更大的泊松子流形 $ \tilde{P} \subset P $ 当且仅当通过尖点映射拉回的法丛具有常数秩。关键结果是在管状邻域内关于泊松微分同胚的唯一性定理，将辛几何中的莫泽型唯一性推广至泊松几何，并将辛几何中的共 isotropic 嵌入结果推广至泊松情形。

ABSTRACT

This is an expository and introductory note on some results obtained in "Coisotropic embeddings in Poisson manifolds" (ArXiv math/0611480). Some original material is contained in the last two sections, where we consider linear Poisson structures.

研究动机与目标

• 确定任意泊松流形 $ P $ 的子流形 $ C $ 在什么条件下可以共 isotropically 嵌入到更大的泊松子流形 $ \tilde{P} \subset P $ 中。
• 在 $ C $ 的管状邻域内，建立此类嵌入关于泊松微分同胚的唯一性结果。
• 定义并表征预泊松子流形类，作为泊松几何中共 isotropic 嵌入的相关类。
• 将辛几何中的莫泽路径方法结果推广至泊松情形，将“一阶唯一性”替换为完整的邻域唯一性。
• 分析预泊松子流形与李群胚结构之间的对应关系，特别是 $ \mathfrak{g}^* $（李代数的对偶）的情形。

提出的方法

• 将预泊松子流形定义为满足 $ \sharp^{-1}TC $ 具有常数秩的子流形，其中 $ \sharp $ 为泊松张量场的尖点映射。
• 利用 $ \sharp^{-1}TC $ 具有常数秩的条件，作为存在泊松子流形 $ \tilde{P} \subset P $ 的充分条件，使得 $ C \subset \tilde{P} $ 为共 isotropic。
• 应用类似于辛几何中莫泽路径方法的技术，通过沿 $ TC + T^\perp C $ 的补空间扩展 $ C $，构造嵌入 $ \tilde{P} $。
• 通过识别积分 $ \sharp^{-1}TC $ 的辛群胚的源连通子群胚，表征预泊松子流形的李群胚对偶。
• 分析 $ P = \mathfrak{g}^* $（李代数的对偶）的情形，且 $ C $ 为仿射子空间时，证明 $ C $ 为预泊松子流形当且仅当其相交的余伴随轨道具有相同维数。
• 利用典范的李代数丛同构 $ T^*P \cong \ker(\mathbf{t}_*|_P) $，将群胚结构与法丛及特征分布联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，泊松流形 $ P $ 的任意子流形 $ C \subset P $ 可以共 isotropically 嵌入到更大的泊松子流形 $ \tilde{P} \subset P $ 中？
• RQ2 子流形 $ \tilde{P} $ 在 $ C $ 的管状邻域内是否关于泊松微分同胚唯一？
• RQ3 对于存在此类共 isotropic 嵌入的子流形 $ C \subset P $，其几何与代数特征为何？
• RQ4 预泊松条件与辛情形有何关联，特别是拉回的辛形式具有常数秩时？
• RQ5 预泊松子流形的李群胚理论解释为何，特别是在 $ \mathfrak{g}^* $ 的情形下？

主要发现

• 泊松流形 $ P $ 的子流形 $ C \subset P $ 可嵌入共 isotropically 到泊松子流形 $ \tilde{P} \subset P $ 当且仅当 $ \sharp^{-1}TC $ 具有常数秩。
• 当 $ \sharp^{-1}TC $ 具有常数秩时，子流形 $ \tilde{P} $ 存在且在 $ C $ 的管状邻域内关于泊松微分同胚唯一。
• 在辛情形下，预泊松条件退化为拉回的辛形式具有常数秩，从而恢复并强化了经典的莫泽型唯一性结果。
• 当 $ P = \mathfrak{g}^* $（李代数的对偶）时，子流形 $ C $ 为预泊松子流形当且仅当其相交的所有余伴随轨道维数相同。
• 积分 $ \sharp^{-1}TC $ 的辛群胚 $ \mathfrak{g}^* \times G $ 的源连通子群胚为 $ \{(x,g) \in \mathfrak{g}^* \times G : \operatorname{Ad}^*_{g^{-1}}(x) = x \} $，其为预辛子流形。
• 李代数子丛 $ N^*C \cap \sharp^{-1}TC \subset T^*P $ 同构于 $ C \times \mathfrak{d} $，其中 $ \mathfrak{d} $ 为稳定子群 $ D \subset G $ 的李代数，且其积分生成李子群胚 $ C \times D \subset \mathfrak{g}^* \times G $。