[论文解读] Precise asymptotics for the density and the upper tail of exponential functionals of subordinators

Bénédicte Haas|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2021

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用 6

一句话总结

本文通过其拉普拉斯指数，为子序过程的指数泛函的概率密度和上尾分布建立了精确的渐近等价式。它推导出一阶收敛速率，并提供了一套系统方法以计算高阶项，对于在零附近呈现幂律行为的Lévy测度的子序过程，给出了明确的结果。

ABSTRACT

We provide exact large-time equivalents of the density and upper tail distributions of the exponential functional of a subordinator in terms of its Laplace exponents. This improves previous results on the logarithmic asymptotic behaviour of the upper tail. Since the results in their general form remain rather abstract, we study some fairly common situations in details to see how the behavior near 0 of the Lévy measure of the subordinator influences the asymptotics of the density and upper tail distributions. Several examples of applications are then discussed.

研究动机与目标

• 推导子序过程指数泛函的密度和上尾在大时间下的精确渐近行为。
• 量化Lévy测度在零附近的微观行为如何影响尾部和密度的渐近性质。
• 提供一个通用框架，用于计算一阶以上的高阶渐近展开。
• 将渐近行为与自相似马尔可夫过程、分裂数和共轭过程的应用联系起来。
• 将本方法与现有方法（如对Mellin变换应用鞍点法）进行比较与对照。

提出的方法

• 推导出尾部分布对数导数的积分方程，将其与子序过程的拉普拉斯指数联系起来。
• 利用尾部分布的积分方程与拉普拉斯指数的积分方程之间的接近性，通过迭代方法计算高阶渐近项。
• 应用Tauberian与Abelian定理，将拉普拉斯指数的渐近行为与指数泛函的尾部和密度联系起来。
• 分析拉普拉斯指数在无穷远处具有幂律展开的情形，从而获得显式渐近表达式。
• 采用涉及自相似马尔可夫过程吸收时间的条件化论证，推导矩的渐近行为。
• 通过控制收敛定理验证收敛性，并利用对数尾部函数的导数建立尾部衰减的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 子序过程指数泛函的密度和上尾的渐近行为如何依赖于其拉普拉斯指数？
• RQ2 当时间趋于无穷时，尾部和密度的精确一阶渐近行为是什么？
• RQ3 Lévy测度在零附近的局部行为如何影响尾部和密度的衰减速率？
• RQ4 能否从拉普拉斯指数系统地推导出高阶渐近项？
• RQ5 这些渐近性质对自相似马尔可夫过程的矩和标度极限有何影响？

主要发现

• 本文建立了子序过程拉普拉斯指数 $\phi$ 的形式，给出了上尾概率 $\mathbb{P}(I > t)$ 的精确大时间等价式。
• 给出了指数泛函密度 $k(t)$ 在 $t \to \infty$ 时的精确渐近等价式，其推导基于拉普拉斯指数。
• 直接获得了一阶收敛速率，并通过迭代优化方法提供了计算高阶项的途径。
• 对于在零附近具有幂律行为Lévy测度的子序过程，其尾部和密度表现出显式的幂律衰减，衰减速率由正则变指数决定。
• 结果被应用于证明自相似马尔可夫过程中矩的收敛性，其极限矩由 $\phi(\alpha i)$ 的乘积表征。
• 该方法的收敛速率比以往的对数渐近结果更精确，且通过提供系统化的展开框架，补充了Minchev和Savov的鞍点方法。