[论文解读] Precise deviations for Hawkes processes

Fuqing Gao, Lingjiong Zhu|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2017

Point processes and geometric inequalities参考文献 44被引用 3

一句话总结

该论文利用模ϕ收敛理论，为线性霍克斯过程建立了精确偏差，推导出超越标准大偏差和中等偏差原理的高阶渐近展开。关键贡献在于对尾部概率 P(N_t ≥ xt) 的改进拉普拉斯近似，引入了高阶矩累积量，相较于以往的多恩斯克-瓦拉达汉型结果，提供了更精确的指数估计。

ABSTRACT

Hawkes process is a class of simple point processes with self-exciting and clustering properties. Hawkes process has been widely applied in finance, neuroscience, social networks, criminology, seismology, and many other fields. In this paper, we study precise deviations for Hawkes processes for large time asymptotics, that strictly extends and improves the existing results in the literature. Numerical illustrations will also be provided.

研究动机与目标

• 通过推导包含高阶校正项的精确偏差，拓展现有霍克斯过程的大偏差和中等偏差结果。
• 解决现有多恩斯克-瓦拉达汉型速率函数的局限性，后者仅能捕捉主导阶行为。
• 利用矩生成函数分析，为尾部概率 P(N_t ≥ xt) 开发改进的渐近近似。
• 在核 h 满足可积性条件的前提下，将模ϕ收敛理论应用于线性霍克斯过程。
• 推导高阶矩累积量及计数过程拉普拉斯变换的渐近展开的显式公式。

提出的方法

• 利用模ϕ收敛理论分析霍克斯过程 N_t 的矩生成函数。
• 通过积分方程推导矩生成函数 F(t;θ) = E[exp(θN_t)] 的半显式公式。
• 建立 F^{(k)}(t;θ) 关于 θ 的递归微分方程，实现高阶导数的计算。
• 应用测度变换技术，将 P(N_t ≥ xt) 表示为涉及 Radon-Nikodym 导数的倾斜测度。
• 利用矩生成函数的 Legendre 变换确定最优倾斜参数 θ*。
• 利用鞍点法及四阶以内的高阶矩累积量，推导尾部概率的渐近展开。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为线性霍克斯过程中的尾部概率 P(N_t ≥ xt) 推导高阶渐近展开？
• RQ2 在标准大偏差原理之外，P(N_t ≥ xt) 的精确指数衰减速率是什么？
• RQ3 模ϕ收敛理论能否有效应用于具有随机强度的点过程（如霍克斯过程）？
• RQ4 高阶矩累积量（最高至四阶）如何促进尾部概率拉普拉斯近似的精细化？
• RQ5 核 h 在塑造精确偏差行为中的作用是什么，特别是在 ∫th(t)dt < ∞ 的情况下？

主要发现

• 论文推导出 P(N_t ≥ xt) 的精确拉普拉斯近似，其包含超越标准大偏差速率函数的高阶校正项。
• 尾部概率的渐近展开涉及计数过程的四阶矩累积量，且已显式导出 x^{(3)}(θ*) 和 x^{(4)}(θ*) 关于 ν、‖h‖_{L^1} 和 x 的表达式。
• 最优倾斜参数 θ* 满足 θ* = argmax_θ {θx − ν(x(θ) − 1)}，且 x(θ*) = x / (ν + ‖h‖_{L^1}x)。
• 展开中的二阶校正项与 x^{(4)}(θ*) / (1 − ‖h‖_{L^1}x(θ*)) 成正比，其系数包含 (γ − 1)^2 和 H(t − u)。
• 该结果在捕捉指数衰减速率的下一阶项方面，优于多恩斯克-瓦拉达汉大偏差原理。
• 数值结果验证了精确偏差近似的准确性，尤其在中等到大偏差区域表现更优。