[论文解读] Precise estimation on the order of local testability of deterministic finite automaton

A. N. Trahtman|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2020

semigroups and automata theory参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文为具有 $n$ 个状态的确定性有限自动机的局部可测试性阶数提供了精确的上界 $(n^2 - n)/2 + 1$，并证明该上界是紧的。通过构造一族二元字母表自动机，其可测试性阶数为 $ olimits\Omega(n^2)$，该研究解决了金、麦克诺顿和麦克拉斯基的猜想，证明该上界为最优，并否定了二元字母表下阶数为 $O(n^{1.5})$ 的猜想。

ABSTRACT

A locally testable language L is a language with the property that for some non negative integer k, called the order or the level of local testable, whether or not a word u in the language L depends on (1) the prefix and the suffix of the word u of length k-1 and (2) the set of intermediate partial strings of length k of the word u. For given k the language is called k-testable. We give necessary and sufficient conditions for the language of an automaton to be k-testable in the terms of the length of paths of a related graph. Some estimations of the upper and of the lower bound of testable order follow from these results. We improve the upper bound on the testable order of locally testable deterministic finite automaton with n states to n(n-2)+1 This bound is the best possible. We give an answer on the following conjecture of Kim, McNaughton and Mac-CLoskey for deterministic finite locally testable automaton with n states: \Is the local testable order of no greater than n in power 1.5 when the alphabet size is two?" Our answer is negative. In the case of size two the situation is the same as in general case.

研究动机与目标

• 确定具有 $n$ 个状态的确定性有限自动机的局部可测试性阶数的精确上界。
• 解决金、麦克诺顿和麦克拉斯基提出的猜想，即二元字母表自动机的可测试性阶数为 $O(n^{1.5})$。
• 通过在直接积图 $\Gamma \times \Gamma$ 中进行路径长度分析，建立 $k$-可测试性的必要与充分条件。
• 构造显式自动机，证明局部可测试性阶数可达到 $\Omega(n^2)$，即使在二元字母表下亦成立。

提出的方法

• 分析确定性有限自动机的状态转移图 $\Gamma$，并构造其直接积图 $\Gamma \times \Gamma$ 以研究路径结构。
• 在 $\Gamma \times \Gamma$ 中无环路径上应用路径长度约束，推导出 $k$-可测试性的必要与充分条件。
• 应用先前工作中关于 $k$-可测试半群的恒等式，以刻画自动机的短语结构半群。
• 构造一族具有 $n$ 个状态和二元字母表的确定性有限自动机，通过在 $\Gamma \times \Gamma$ 中显式构造路径，证明其可测试性阶数为 $\Omega(n^2)$。
• 通过证明上界 $(n^2 - n)/2 + 1$ 对于约化且局部可测试的自动机既必要又充分，从而证明该上界是紧的。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有 $n$ 个状态的确定性有限自动机的局部可测试性阶数是否被上界 $(n^2 - n)/2 + 1$ 所限制？
• RQ2 即使字母表大小为 2，局部可测试性阶数是否仍以 $\Omega(n^2)$ 的速度增长？
• RQ3 关于二元字母表下阶数为 $O(n^{1.5})$ 的猜想是否可以被证实或证伪？
• RQ4 能否用 $\Gamma \times \Gamma$ 中的路径长度表达 $k$-可测试性的必要与充分条件？

主要发现

• 对于具有 $n$ 个状态的约化确定性有限自动机，其局部可测试性阶数的精确上界为 $(n^2 - n)/2 + 1$，且该上界是紧的。
• 本文构造了一族二元字母表的确定性有限自动机，其 $n$ 个状态的可测试性阶数为 $\Omega(n^2)$，从而否定了 $O(n^{1.5})$ 增长的猜想。
• 所构造自动机的 $\Gamma \times \Gamma$ 图中存在长度为 $2n^2 + 4n - 6$ 的路径，为可测试性阶数提供了 $\Omega(n^2)$ 的下界。
• 对于强连通的状态转移图，$k$-可测试性的条件既是必要也是充分的，从而可设计出时间复杂度为多项式的算法以计算可测试性阶数。
• 结果证实，局部可测试性阶数可超过状态数，如构造的具有 28 个状态且阶数大于 126 的自动机所示。