[论文解读] Precise large deviation estimates for branching process in random environment

Dariusz Buraczewski, Piotr Dyszewski|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 5

一句话总结

本文为随机环境中分支过程（BPRE）的大偏差建立了精确的渐近估计，推导出种群规模超过指数阈值的概率的精确指数衰减率。证明了尾部概率 $\mathbb{P}[Z_n > e^{\rho n}]$ 的衰减形式为 $\sim \frac{\mathcal{C}_1(\rho)}{\sqrt{n}} e^{-I(\rho)n}$，其中速率函数 $I(\rho)$ 显式给出；并在 Cramér 条件下将该结果扩展至亚临界情形下的首达时，表明 $\mathbb{P}[T_t^Z < \infty] \sim c t^{-\alpha_0}$。

ABSTRACT

We consider the branching process in random environment $\{Z_n\}_{n\geq 0}$, which is a~population growth process where individuals reproduce independently of each other with the reproduction law randomly picked at each generation. We describe precise asymptotics of upper large deviations, i.e. $\mathbb{P}[Z_n &gt; e^{ρn}]$. Moreover in the subcritical case, under the Cramér condition on the mean of the reproduction law, we investigate large deviations-type estimates for the first passage time of the branching process in question and its total population size.

研究动机与目标

• 推导随机环境中分支过程的上尾概率 $\mathbb{P}[Z_n > e^{\rho n}]$ 的精确渐近行为。
• 将分析扩展至亚临界情形下的首达时 $T_t^Z = \inf\{n \geq 0 : Z_n > t\}$。
• 在 Cramér 条件 $\mathbb{E}[A^{\alpha_0}] = 1$ 下，建立生存概率与首次超越时间分布的确切渐近性质。
• 将 $Z_n$ 的大偏差行为与逐个样本均值 $\Pi_n$ 及其相关随机游走 $S_n = \log \Pi_n$ 联系起来。
• 提供首达时间分布的完整渐近描述，包括其收敛至稳定分布，以及测度在极限下的收敛性。

提出的方法

• 作者采用将种群过程分解为环境依赖的繁殖因子乘积的方法，并对相关随机游走 $S_n = \log \Pi_n$ 应用大偏差技术。
• 应用 Cramér 条件 $\mathbb{E}[A^{\alpha_0}] = 1$ 分析亚临界情形，推导出首达时间的幂律衰减。
• 证明依赖于测度变换技巧以及极限随机变量 $R_{\infty}$ 的使用，后者刻画了亚临界情形下的总种群规模。
• 通过分部积分与一致收敛性估计，建立测度 $dH_t(u)$ 收敛至按常数缩放的勒贝格测度。
• 应用 Hölder 不等式与矩界，控制首达时间概率分解中尾部区域的贡献。
• 分析涉及将积分划分为三个区域，并利用指数与多项式矩界严格控制尾部贡献的可忽略性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n \to \infty$ 时，$\mathbb{P}[Z_n > e^{\rho n}]$ 的精确渐近行为如何，分别在超临界与非超临界情形下？
• RQ2 在 Cramér 条件下，当 $t \to \infty$ 时，首达时间 $T_t^Z = \inf\{n \geq 0 : Z_n > t\}$ 的渐近行为如何？
• RQ3 在亚临界 BPRE 情形下，$\mathbb{P}[T_t^Z < \infty]$ 的确切衰减速率是多少？
• RQ4 首达时间分布如何依分布收敛？其极限测度是什么？
• RQ5 总种群规模 $R_\infty$ 在决定大偏差与首达时间渐近行为中起什么作用？

主要发现

• 在超临界情形下，当 $\rho > \mathbb{E}[\log A]$，或在非超临界情形下 $\rho > 0$ 时，大偏差概率 $\mathbb{P}[Z_n > e^{\rho n}]$ 的衰减形式为 $\sim \frac{\mathcal{C}_1(\rho)}{\sqrt{n}} e^{-I(\rho)n}$，其中速率函数 $I(\rho)$ 显式定义。
• 在 Cramér 条件 $\mathbb{E}[A^{\alpha_0}] = 1$ 下的亚临界情形中，首达时间满足 $\mathbb{P}[T_t^Z < \infty] \sim c t^{-\alpha_0}$，其中 $c > 0$，其行为与总种群规模 $R_\infty$ 的尾部行为一致。
• 与首达时间相关的极限测度 $H_t$ 弱收敛至按 $C_1 c(\alpha_0)$ 缩放的勒贝格测度，意味着归一化的首达时间分布在此极限下收敛至正态分布。
• 种群规模分布的主体部分贡献占主导地位，且中间区域出现大值的概率渐近正比于勒贝格测度。
• 通过 Hölder 不等式与矩界严格控制了尾部贡献的可忽略性，确保了渐近等价性的成立。
• 渐近表达式中的常数 $C_1$ 来源于极限 $\lim_{t \to \infty} e^{\alpha_0 s} \mathbb{P}[R_{n_1,n_y} > e^s]$，该极限一致收敛，且与总种群规模 $R_\infty$ 相关联。