[论文解读] Preclusion of switch behavior in reaction networks with mass-action kinetics

Elisenda Feliu, Carsten Wiuf|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2011

Gene Regulatory Network Analysis参考文献 16被引用 23

一句话总结

本文提出一种直接的雅可比判别法，通过分析包含独立守恒定律的修正物种生成速率函数的单射性，来排除质量作用动力学下化学反应网络中的多重正稳态。该方法通过确保该函数雅可比行列式非零来判定单射性，该行列式是浓度和速率常数的多项式，若满足条件则可保证不存在多稳态或退化稳态。

ABSTRACT

We provide a Jacobian criterion that applies to arbitrary chemical reaction networks taken with mass-action kinetics to preclude the existence of multiple positive steady states within any stoichiometric class for any choice of rate constants. We are concerned with the characterization of injective networks, that is, networks for which the species formation rate function is injective in the interior of the positive orthant within each stoichiometric class. We show that a network is injective if and only if the determinant of the Jacobian of a certain function does not vanish. The function consists of components of the species formation rate function and a maximal set of independent conservation laws. The determinant of the function is a polynomial in the species concentrations and the rate constants (linear in the latter) and its coefficients are fully determined. The criterion also precludes the existence of degenerate steady states. Further, we relate injectivity of a chemical reaction network to that of the chemical reaction network obtained by adding outflow, or degradation, reactions for all species.

研究动机与目标

• 本文旨在为具有质量作用动力学的反应网络提供一种直接判别法，以排除多重正稳态。
• 解决以往方法依赖于将网络转化为全开放系统这一局限性。
• 目标是表征单射网络——即在每个化学计量类中，物种生成速率函数在正卦限内为单射。
• 旨在消除对全开放网络的迂回处理，同时保留检测退化稳态的能力。
• 旨在提供一种计算上可行且可实现的方法，利用符号代数软件进行实施。

提出的方法

• 该方法通过将物种生成速率函数的部分成分替换为独立守恒定律，引入一个修正函数。
• 计算该修正函数的雅可比矩阵，并分析其行列式在所有正浓度和速率常数下是否恒不为零。
• 该行列式是物种浓度和速率常数的多项式，关于后者为线性，其系数由网络结构完全确定。
• 若行列式恒不为零，则可确立单射性，这通过验证所有系数同号（全正或全负）来确认。
• 该方法避免将网络转化为全开放系统，而是直接基于原始网络结构进行处理。
• 该方法使用Mathematica等符号计算工具实现，步骤包括计算化学计量矩阵的零空间、构造修正函数、评估行列式及其系数的符号。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为任意具有质量作用动力学的反应网络开发一种直接判别法，以排除多重正稳态，而无需依赖全开放网络的变换？
• RQ2 将守恒定律纳入的修正物种生成速率函数的单射性，是否能保证排除多稳态和退化稳态？
• RQ3 如何在不依赖其关联的全开放网络是否单射的前提下，独立评估网络的单射性？
• RQ4 修正函数的雅可比行列式与网络结构特性之间存在何种精确关系？
• RQ5 该判别法能否通过符号计算软件高效实现，以适用于实际应用？

主要发现

• 本文确立了：当且仅当修正函数（含守恒定律）的雅可比行列式对任意正浓度向量和任意速率常数均不为零时，反应网络为单射。
• 该行列式是物种浓度和速率常数的多项式，关于速率常数为线性，其系数由网络结构完全决定。
• 若行列式恒不为零，则无论速率常数取值如何，网络在任一化学计量类中均无多重正稳态。
• 该判别法还可排除退化稳态：若行列式非零，则所有正稳态均为非退化。
• 该方法允许直接评估单射性，无需将网络转化为全开放系统，克服了以往方法的关键局限。
• 该判别法可通过符号代数软件计算实现，基于行列式系数符号分析的可靠程序已建立。