[论文解读] Preconditioned Continuation Model Predictive Control

Andrew Knyazev, Yuta Fujii+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2015

Matrix Theory and Algorithms参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文提出了一种预处理连续模型预测控制（CNMPC）框架，用于非线性最优控制，通过高效的预处理方法显著提升迭代求解器的收敛速度，并用MINRES替代GMRES。该方法在最短时间问题中实现了显著更快的在线计算速度和更优的控制性能，且预处理器的并行化设置使其适用于现代硬件的实时控制。

ABSTRACT

Model predictive control (MPC) anticipates future events to take appropriate control actions. Nonlinear MPC (NMPC) describes systems with nonlinear models and/or constraints. A Continuation/GMRES Method for NMPC, suggested by T. Ohtsuka in 2004, uses the GMRES iterative algorithm to solve a forward difference approximation $Ax=b$ of the Continuation NMPC (CNMPC) equations on every time step. The coefficient matrix $A$ of the linear system is often ill-conditioned, resulting in poor GMRES convergence, slowing down the on-line computation of the control by CNMPC, and reducing control quality. We adopt CNMPC for challenging minimum-time problems, and improve performance by introducing efficient preconditioning, utilizing parallel computing, and substituting MINRES for GMRES.

研究动机与目标

• 将连续NMPC扩展至处理带终端约束和设计参数的最短时间最优控制问题。
• 通过引入有效的预处理方法，解决CNMPC中病态线性系统导致的GMRES收敛缓慢问题。
• 通过在迭代求解过程中用MINRES替代GMRES，提升计算效率并减少内存占用。
• 通过预处理器的并行计算实现在线实时应用，适用于多核、GPU或FPGA架构。
• 证明在具有挑战性的非线性最优控制场景中，预处理可实现极低计算开销下的控制质量提升。

提出的方法

• 扩展CNMPC公式以包含终端约束和优化参数，使其适用于时间最优控制问题。
• 在每个时间步使用前向差分近似构造线性系统 $Ax = b$，并通过Krylov子空间迭代方法求解。
• 为GMRES引入一种预处理器，降低系统矩阵的条件数，从而加速收敛。
• 将GMRES替换为MINRES作为迭代求解器，减少内存需求，并在对称系统中提升收敛速度。
• 提出一种可并行执行的预处理器构建算法，最大限度降低在线计算成本。
• 采用时间可变的预处理器，每隔 $t_p$ 时间间隔重新计算，以平衡精度与计算负载。

实验结果

研究问题

• RQ1 预处理是否能显著加速连续NMPC中非线性最优控制的迭代求解器收敛？
• RQ2 在CNMPC应用中，用MINRES替代GMRES对收敛速度和内存占用有何影响？
• RQ3 并行预处理器构建对在线计算时间和实时控制可行性有何影响？
• RQ4 所提方法能否有效求解带终端约束和不等式约束的最短时间最优控制问题？
• RQ5 预处理器重新计算频率如何影响解的质量和计算效率？

主要发现

• 预处理将GMRES的迭代次数从最大允许值（10次）降低至仅1或2次，显著加速收敛。
• 当 $k_{\text{max}} = 1$ 且每0.2秒更新一次预处理器时，方法达到近似最优性能，表现出强鲁棒性。
• 将 $k_{\text{max}}$ 从2增加到10仅在残差和 $\|F\|$ 上带来微小改善，表明在中等迭代次数后收益递减。
• 在 $t_p = 0.4$ 秒且 $k_{\text{max}} = 2$ 条件下，预处理GMRES的迭代次数相比非预处理GMRES减少五倍，且解的质量相当或更优。
• 使用MINRES替代GMRES可减少内存需求并提升收敛速度，尤其适用于大规模或实时系统。
• 并行预处理器构建使方法在多核、GPU或FPGA平台上的高效实现成为可能，使其适用于高速控制应用。