[论文解读] Preconditioning for the Geometric Transportation Problem

Andrey Boris Khesin, Aleksandar Nikolov+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Optimization and Mathematical Programming参考文献 14被引用 5

一句话总结

该论文提出了首个在固定维度下近乎线性时间的 (1+ε)-近似算法，用于几何运输问题，通过广义预条件化与几何稀疏化相结合，将问题简化为稀疏最小费用流实例。该算法的时间复杂度在 n 上近乎线性，在 ε⁻¹ 和 log(total supply) 上为多项式时间，相较于以往方法实现了显著改进。

ABSTRACT

In the geometric transportation problem, we are given a collection of points $P$ in $d$-dimensional Euclidean space, and each point is given a supply of $μ(p)$ units of mass, where $μ(p)$ could be a positive or a negative integer, and the total sum of the supplies is $0$. The goal is to find a flow (called a transportation map) that transports $μ(p)$ units from any point $p$ with $μ(p) > 0$, and transports $-μ(p)$ units into any point $p$ with $μ(p) < 0$. Moreover, the flow should minimize the total distance traveled by the transported mass. The optimal value is known as the transportation cost, or the Earth Mover's Distance (from the points with positive supply to those with negative supply). This problem has been widely studied in many fields of computer science: from theoretical work in computational geometry, to applications in computer vision, graphics, and machine learning. In this work we study approximation algorithms for the geometric transportation problem. We give an algorithm which, for any fixed dimension $d$, finds a $(1+\varepsilon)$-approximate transportation map in time nearly-linear in $n$, and polynomial in $\varepsilon^{-1}$ and in the logarithm of the total supply. This is the first approximation scheme for the problem whose running time depends on $n$ as $n\cdot \mathrm{polylog}(n)$. Our techniques combine the generalized preconditioning framework of Sherman, which is grounded in continuous optimization, with simple geometric arguments to first reduce the problem to a minimum cost flow problem on a sparse graph, and then to design a good preconditioner for this latter problem.

研究动机与目标

• 开发一种针对几何运输问题的快速近似算法，以最小化 d 维空间中的地球移动距离。
• 实现运行时间在点数 n 上近乎线性，优于以往的 O(n².⁵) 和 O(n²) 算法。
• 设计一种适用于一般整数供应的算法，而不仅限于单位供应，从而扩展了以往局限于特殊情况的结果。
• 确保算法效率在 ε⁻¹ 和总供应的对数上具有良好可扩展性，使其在机器学习和计算机视觉中具有实际应用价值。

提出的方法

• 作者利用分离距离对（WSPDs）将几何运输问题转化为稀疏图上的最小费用流问题，该方法在 (1+ε) 因子内保持距离不变。
• 应用谢尔曼的广义预条件化框架高效求解最小费用流问题，利用连续优化技术。
• 提出一种新颖的取消程序，以维持均匀的流平衡并减少流支持的大小，同时保持成本不变，确保输出为有效的运输映射。
• 算法以分层方式逐级处理净点，从最细粒度到最粗粒度层级，以控制总运行时间。
• 通过邻接表稀疏表示维护流，使取消程序每次迭代的操作时间恒定。
• 通过结合 WSPD 稀疏化与分层流校正，该方法实现了近乎线性的总运行时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在固定维度下，对一般供应函数实现近乎线性时间的 (1+ε)-近似几何运输问题？
• RQ2 如何将连续优化中的预条件化技术适配到具有几何结构的离散几何流问题中？
• RQ3 是否可能在减少非零流边数量的同时，维持有效的运输映射并保持成本边界？
• RQ4 在几何运输问题中，底层图的稀疏性与近似质量之间是否存在最优权衡？
• RQ5 能否使运行时间在 n 上近乎线性，同时在 ε⁻¹ 和 log(total supply) 上保持多项式关系？

主要发现

• 该算法在时间 O(nε⁻d log(∆) + ε⁻²d log(∆)) 内实现几何运输问题的 (1+ε)-近似，对于固定的 d，该时间复杂度在 n 上近乎线性。
• 运行时间在 ε⁻¹ 上为多项式依赖，在总供应的对数上为对数依赖，使其在大规模实例中依然高效。
• 该方法从稀疏图上的流构造出有效的运输映射，确保输出满足所有供需约束。
• 取消程序在减少流支持中非零边数量的同时，维持了流平衡和成本边界。
• 净点的分层处理确保了总运行时间被控制在所声明的近乎线性表达式范围内。
• 该方法优于以往的算法，后者要么在 n 上具有更高的多项式依赖，要么被限制在单位供应的情形。