[论文解读] Preconditioning of a hybridized discontinuous Galerkin finite element method for the Stokes equations

Sander Rhebergen, Garth N. Wells|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 26被引用 44

一句话总结

本文针对混合间断伽辽金（HDG）有限元方法求解斯托克斯方程，提出了最优预条件子，利用静态消去法减小全局系统规模。通过证明压力舒尔补与质量矩阵之间的谱等价性，作者构造了块对角型和块对称高斯-赛德尔预条件子，使迭代次数与网格尺寸无关，从而在二维和三维大尺度问题中实现可扩展性。

ABSTRACT

We present optimal preconditioners for a recently introduced hybridized discontinuous Galerkin finite element discretization of the Stokes equations. Typical of hybridized discontinuous Galerkin methods, the method has degrees-of-freedom that can be eliminated locally (cell-wise), thereby significantly reducing the size of the global problem. Although the linear system becomes more complex to analyze after static condensation of these element degrees-of-freedom, the pressure Schur complement of the original and reduced problem are the same. Using this fact, we prove spectral equivalence of this Schur complement to two simple matrices, which is then used to formulate optimal preconditioners for the statically condensed problem. Numerical simulations in two and three spatial dimensions demonstrate the good performance of the proposed preconditioners.

研究动机与目标

• 为混合间断伽辽金（HDG）方法对斯托克斯方程进行离散化后产生的静态消去线性系统，开发高效的迭代求解器。
• 通过构建与网格尺寸无关的预条件子，确保求解过程的可扩展性。
• 在保持HDG方法关键特性（局部质量守恒、点态无散速度、能量稳定性）的同时，实现对消去后系统的高效求解。
• 分析并数值验证预条件子在不同多项式阶次和网格类型（单纯形、四边形、六面体）下的最优收敛速率。

提出的方法

• 应用静态消去法消除单元内速度自由度，减小全局问题规模，同时保持压力舒尔补结构。
• 利用先前分析中获得的有界性和 inf-sup 稳定性结果，证明压力舒尔补与离散质量矩阵之间的谱等价性。
• 构造两种块对角型预条件子：一种基于谱等价矩阵 C（由舒尔补导出），另一种基于压力质量矩阵 M。
• 利用系统矩阵结构和代数多重网格（AMG）近似逆矩阵，开发块对称高斯-赛德尔预条件子。
• 使用 V 循环的 AMG 方法近似逆算子（如 ¯R−1, M−1, C−1），并在预光滑和后光滑步骤中应用高斯-赛德尔平滑。
• 在 MFEM 中实现该方法，使用 PETSc 求解器和 BoomerAMG 进行代数多重网格，支持在非结构化和结构化网格上进行数值测试。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为斯托克斯方程的静态消去 HDG 系统构造最优预条件子，确保收敛性与网格尺寸无关？
• RQ2 消去系统压力舒尔补是否仍与质量矩阵保持谱等价，从而支持高效预条件化？
• RQ3 在不同网格类型和多项式阶次下，块对角型与块对称高斯-赛德尔预条件子在性能上如何比较？
• RQ4 对于相同预条件子，右预条件的 GMRES 是否在迭代次数上优于左预条件的 MINRES？
• RQ5 所提出的预条件子能否在二维和三维复杂几何（如顶盖驱动流）及高阶多项式近似下保持鲁棒性？

主要发现

• 静态消去 HDG 系统的压力舒尔补与离散压力质量矩阵之间存在谱等价性，从而可应用成熟的预条件子理论。
• 基于谱等价矩阵 C 的块对角预条件子实现了与网格尺寸无关的收敛性，其迭代次数在二维和三维不同细化水平下均保持稳定。
• 对于包含 1,789,952 个自由度的三维单纯形网格，¯PC 预条件子仅需 96 次 MINRES 迭代即可达到 10−8 残差精度。
• 右预条件的 GMRES 将相同 3D 单纯形网格的迭代次数从左预条件 MINRES 的 153 次减少至 37 次，显著提升了性能。
• 基于 ¯PSGS_C 的块对称高斯-赛德尔预条件子在最大单纯形网格下，二维需 102 次迭代，三维需 153 次，表现出对不同问题规模的鲁棒性。
• 基于 M（压力质量矩阵）的预条件子性能劣于基于 C 的版本，而使用 C 或 M 的对称高斯-赛德尔变体之间未表现出优势差异。