[论文解读] Preconditioning techniques in frame theory and probabilistic frames

Kasso A. Okoudjou|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2015

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 75被引用 6

一句话总结

本文通过可扩展框架——可缩放为紧致框架的框架——在框架理论中引入预条件技术，将可扩展性与Fritz John椭球定理联系起来。进一步地，将概率框架作为框架的推广，表明概率框架势的极小化器对应于紧致的概率 $p$-框架，并通过球面 $p$-设计对偶数 $p$ 给出精确刻画。

ABSTRACT

In this chapter we survey two topics that have recently been investigated in frame theory. First, we give an overview of the class of scalable frames. These are (finite) frames with the property that each frame vector can be rescaled in such a way that the resulting frames are tight. This process can be thought of as a preconditioning method for finite frames. In particular, we: (1) describe the class of scalable frames; (2) formulate various equivalent characterizations of scalable frames, and relate the scalability problem to the Fritz John ellipsoid theorem. Next, we discuss some results on a probabilistic interpretation of frames. In this setting, we: (4) define probabilistic frames as a generalization of frames and as a subclass of continuous frames; (5) review the properties of certain potential functions whose minimizers are frames with certain optimality properties. The chapter is based on a lecture given by the author at the AMS 2015 Short Course on Finite Frame Theory: A Complete Introduction to Overcompleteness.

研究动机与目标

• 表征可扩展框架，并建立其与凸多面体及Fritz John椭球定理条件的等价性。
• 将有限框架推广为概率框架，即单位球面上的Borel概率测度，将框架理论推广至连续设置。
• 利用概率框架势识别框架的最优性条件，特别关注偶数整数 $p$ 的情形。
• 当 $p=2k$ 时，建立球面 $p$-设计与离散紧致概率 $p$-框架之间的一一对应关系。
• 通过 $p$-次框架势的最小化，提供构造紧致概率 $p$-框架的解析工具。

提出的方法

• 将可扩展框架定义为可通过缩放变为紧致框架的有限框架，利用框架向量位于其归一化版本的凸包相对内部的条件。
• 利用Fritz John定理，通过存在一个正定矩阵 $A$ 使得 $\sum_{k=1}^M \lambda_k \varphi_k \otimes \varphi_k = A$ 来刻画可扩展框架。
• 将概率框架引入为单位球面 $S^{N-1}$ 上的Borel概率测度 $\mu$，满足对所有 $y \in \mathbb{R}^N$ 有 $A\|y\|^p \leq \int_{S^{N-1}} |\langle x,y \rangle|^p d\mu(x) \leq B\|y\|^p$。
• 定义概率框架势 $\operatorname{PFP}(\mu,p) = \int_{S^{N-1}} \int_{S^{N-1}} |\langle x,y \rangle|^p d\mu(x) d\mu(y)$，并证明其极小化器产生紧致概率 $p$-框架。
• 证明当 $p=2k$ 为偶数时，$\operatorname{PFP}(\mu,p)$ 的极小化器恰好是紧致概率 $p$-框架，且存在一个涉及双阶乘与维度 $N$ 的精确下界。
• 证明在球面 $p$-设计上支撑的离散测度是紧致概率 $p$-框架，反之亦然，当 $p=2k$ 时。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限框架可扩展的充要条件是什么？其与凸几何及Fritz John定理有何关联？
• RQ2 如何通过单位球面上的概率测度将框架理论推广至连续设置？
• RQ3 概率框架的最优性特征是什么？其与 $p$-次框架势最小化的关联如何？
• RQ4 当 $p$ 为偶数整数时，球面 $p$-设计与紧致概率 $p$-框架之间存在何种关系？
• RQ5 概率框架势的极小化器能否显式刻画？其具有何种几何或代数结构？

主要发现

• 当且仅当原点位于其归一化向量的凸包的相对内部时，有限框架是可扩展的。
• 可扩展框架由存在一个正定矩阵 $A$ 使得 $\sum_{k=1}^M \lambda_k \varphi_k \otimes \varphi_k = A$ 的条件刻画，将可扩展性与Fritz John椭球定理联系起来。
• 当 $0 < p < 2$ 时，概率框架势 $\operatorname{PFP}(\mu,p)$ 的极小化器恰好是那些满足其支撑包含一个标准正交基且包含于 $\pm B$ 内、对称权重之和为 $1/N$ 的概率测度 $\mu$。
• 当 $p=2k$ 为偶数时，概率框架势满足 $\operatorname{PFP}(\mu,p) \geq \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (p-1)}{N(N+2)\cdots(N+p-2)}$，且等号成立当且仅当 $\mu$ 是紧致概率 $p$-框架。
• 当 $p=2k$ 为偶数整数时，球面 $p$-设计与离散紧致概率 $p$-框架之间存在一一对应关系，其等价性为：$\mu_\Phi = \frac{1}{M}\sum_{k=1}^M \delta_{\varphi_k}$ 是紧致概率 $p$-框架当且仅当 $\Phi$ 是球面 $p$-设计。
• 单位球面 $S^{N-1}$ 上的均匀测度 $\sigma$ 对所有 $0 < p < \infty$ 均为紧致概率 $p$-框架，且框架条件中的下界是针对非均匀测度的关键约束。