[论文解读] Predicting parameters for the Quantum Approximate Optimization Algorithm for MAX-CUT from the infinite-size limit

Sami Boulebnane, Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 13

一句话总结

本文通过分析无限尺寸极限，建立了一个理论框架，用于预测随机Erdos-Renyi图上MAX-CUT问题的最优QAOA参数，确立了MAX-CUT与Sherrington-Kirkpatrick（SK）模型之间的映射关系。该研究推导出在大n极限下QAOA能量的解析可处理表达式，并通过数值验证，表明基于SK模型推导出的参数即使在小规模有限实例上也具有良好的泛化能力。

ABSTRACT

Combinatorial optimization is regarded as a potentially promising application of near and long-term quantum computers. The best-known heuristic quantum algorithm for combinatorial optimization on gate-based devices, the Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA), has been the subject of many theoretical and empirical studies. Unfortunately, its application to specific combinatorial optimization problems poses several difficulties: among these, few performance guarantees are known, and the variational nature of the algorithm makes it necessary to classically optimize a number of parameters. In this work, we partially address these issues for a specific combinatorial optimization problem: diluted spin models, with MAX-CUT as a notable special case. Specifically, generalizing the analysis of the Sherrington-Kirkpatrick model by Farhi et al., we establish an explicit algorithm to evaluate the performance of QAOA on MAX-CUT applied to random Erdos-Renyi graphs of expected degree $d$ for an arbitrary constant number of layers $p$ and as the problem size tends to infinity. This analysis yields an explicit mapping between QAOA parameters for MAX-CUT on Erdos-Renyi graphs of expected degree $d$, in the limit $d o \infty$, and the Sherrington-Kirkpatrick model, and gives good QAOA variational parameters for MAX-CUT applied to Erdos-Renyi graphs. We then partially generalize the latter analysis to graphs with a degree distribution rather than a single degree $d$, and finally to diluted spin-models with $D$-body interactions ($D \geq 3$). We validate our results with numerical experiments suggesting they may have a larger reach than rigorously established; among other things, our algorithms provided good initial, if not nearly optimal, variational parameters for very small problem instances where the infinite-size limit assumption is clearly violated.

研究动机与目标

• 通过推导出可解析预测的初始参数，解决QAOA在组合优化中参数优化的挑战。
• 将Farhi等人对SK模型的分析扩展至稀疏Erdos-Renyi图及更一般的随机图集合。
• 在无限尺寸极限下，建立稀疏图上MAX-CUT问题最优QAOA参数与SK模型参数之间的映射关系。
• 将结果推广至具有D体相互作用和非均匀度分布的稀释自旋模型。
• 通过有限尺寸实例的数值实验验证理论预测，证明尽管存在有限尺寸偏差，结果仍具有鲁棒性。

提出的方法

• 推导出平均度d恒定的Erdos-Renyi随机图在无限尺寸极限下的QAOA能量的精确表达式。
• 在d→∞极限下，建立Erdos-Renyi图上MAX-CUT的QAOA参数与SK模型之间的数学映射关系。
• 利用矩方法分析和生成函数，计算稀释自旋模型与D体相互作用的QAOA期望值。
• 开发一种蒙特卡洛算法，用于估计最多p=3层的有限SK模型实例的QAOA能量。
• 将无限尺寸参数预测结果用作有限图经典优化循环中的初始猜测值。
• 通过在Erdos-Renyi图和Chung-Lu随机图上的数值实验验证结果，比较预测参数与优化后参数的差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在无限尺寸极限下，对稀疏Erdos-Renyi图上的MAX-CUT问题，解析预测最优QAOA参数？
• RQ2 在大n极限下，QAOA在MAX-CUT问题上的性能与在Sherrington-Kirkpatrick模型上的性能有何关系？
• RQ3 从SK模型推导出的参数在多大程度上能泛化至有限的稀疏MAX-CUT实例？
• RQ4 度分布和D体相互作用在无限尺寸条件下如何影响QAOA参数的分布？
• RQ5 蒙特卡洛算法能否高效估计p≤3的有限SK模型实例的QAOA能量？

主要发现

• 在n→∞极限下，推导出Erdos-Renyi图上QAOA能量的精确表达式，使参数的解析优化成为可能。
• 在d→∞极限下，建立了Erdos-Renyi图上MAX-CUT问题最优QAOA参数与SK模型参数之间的直接映射关系。
• 数值实验表明，从无限尺寸极限预测出的参数可作为有限实例的良好初始值，即使n小至10亦成立。
• 对于具有异质期望度的Chung-Lu图，最优QAOA参数仅随度分布轻微变化，表明其具有鲁棒性。
• 通过√d对β和γ角度进行重标度，可在不同平均度下保持一致性，支持参数映射的普遍性。
• 用于估计SK模型能量的蒙特卡洛算法实现有界方差，能够高效验证理论预测在有限尺寸下的正确性。