[论文解读] Preference fusion when the number of alternatives exceeds two: indirect scoring procedures

Pavel Chebotarev, Elena Shamis|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2006

Multi-Criteria Decision Making参考文献 34被引用 21

一句话总结

本文分析了在多于两个备选项中聚合不完整偏好的间接打分方法，重点关注其是否满足自洽单调性（SCM）公理。文章引入了胜场-负场结合打分方法类别，并证明其普遍违反SCM，同时建立了SCM满足的充分条件。广义行和法被证明满足SCM，为非传递性和不完整数据下的偏好聚合提供了一种稳健方法。

ABSTRACT

We consider the problem of aggregation of incomplete preferences represented by arbitrary binary relations or incomplete paired comparison matrices. For a number of indirect scoring procedures we examine whether or not they satisfy the axiom of self-consistent monotonicity. The class of {\em win-loss combining scoring procedures} is introduced which contains a majority of known scoring procedures. Two main results are established. According to the first one, every win-loss combining scoring procedure breaks self-consistent monotonicity. The second result provides a sufficient condition of satisfying self-consistent monotonicity.

研究动机与目标

• 评估间接打分方法在多于两个备选项的偏好聚合中是否满足自洽单调性（SCM）公理。
• 检验广泛使用的胜场-负场结合打分方法在不完整偏好数据下维持一致性的局限性。
• 识别打分方法满足SCM的充分条件，确保排名结果的逻辑一致性。
• 在SCM标准下比较已知的打分方法，尤其是广义行和法。
• 为不完整决策情境下稳健偏好聚合方法的公理化推导奠定基础。

提出的方法

• 将个体偏好建模为带有条目1（i > j）、0（j > i）、1/2（等价）或未定义（无意见）的不完整成对比较矩阵。
• 将打分方法定义为将偏好配置映射到每个备选项实值分数的中立且匿名函数。
• 引入自洽单调性（SCM）公理，要求若备选项i在比较中以一致方式优于j，则i的得分不应低于j的得分。
• 基于定义在实数三元组（ap_ij, si, sj）多重集上的函数f，提出SCM满足的充分条件，该函数在ap_ij、si和sj上具有单调性。
• 将充分条件应用于验证广义行和法满足SCM，同时证明所有胜场-负场结合方法均不满足SCM。
• 借助图论和马尔可夫链解释，证明广义行和法的一致性和稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 常见的间接打分方法在偏好不完整时是否保持自洽单调性？
• RQ2 为何胜场-负场结合打分方法普遍无法满足自洽单调性公理？
• RQ3 何种数学条件可确保打分方法在不完整偏好聚合中尊重自洽单调性？
• RQ4 广义行和法与其他非线性打分方法在满足SCM方面如何比较？
• RQ5 额外的公理（如宏观顶点独立性或拆分平衡）能否进一步优化一致打分方法的选择？

主要发现

• 所有胜场-负场结合打分方法（如行和法与广义行和法）均不满足自洽单调性（SCM）公理，如定理8所证明。
• 广义行和法满足SCM，如命题11所示，因其隐含结构满足定理12中的充分条件。
• 建立了SCM满足的充分条件：定义在（ap_ij, si, sj）三元组多重集上的函数f必须在ap_ij和sj上递增，在si上递减，并在替换1或0条目时满足严格单调性。
• 广义行和法源自涉及参数ε和相对表现矩阵的线性方程组，确保了稳定性和一致性。
• 在所分析的四种方法中，广义行和法是唯一满足SCM且定义于所有偏好配置的方法，其余方法仅适用于不可分配置。
• 本文表明SCM并非过度严格，因其允许一定程度的预设排名（如偏好已知强队），但可通过如拆分平衡等公理进一步约束。