[论文解读] Preferential Attachment Graphs are All But Asymmetric

Tomasz Łuczak, Abram Magner+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2016

Complex Network Analysis Techniques参考文献 8被引用 2

一句话总结

本文证明了当每个新节点连接的边数 $ m \geq 3 $ 时，优先连接图几乎必然具有不对称性，从而证实了一个长期存在的猜想。利用该结果，作者推导了生成路径数量的上下界，并估计了该模型的结构熵，为网络增长动力学的信息论分析提供了启示。

ABSTRACT

Graph symmetries intervene in diverse applications, from enumeration, to graph structure compression, to the discovery of graph dynamics (e.g., node arrival order inference). Whereas Erdős-Renyi graphs are typically asymmetric, real networks are highly symmetric. So a natural question is whether preferential attachment graphs, where in each step a new node with $m$ edges is added, exhibit any symmetry. In recent work it was proved that preferential attachment graphs are symmetric for $m=1$, and there is some non-negligible probability of symmetry for $m=2$. It was conjectured that these graphs are asymmetric when $m \geq 3$. We settle this conjecture in the affirmative, then use it to estimate the structural entropy of the model. To do this, we also give bounds on the number of ways that the given graph structure could have arisen by preferential attachment. These results have further implications for information theoretic problems of interest on preferential attachment graphs.

研究动机与目标

• 解决关于优先连接图在 $ m \geq 3 $ 时趋于不对称的猜想。
• 量化在优先连接机制下生成给定图结构的可能生成路径数量。
• 利用对称性特性估计优先连接模型的结构熵。
• 探讨对信息论问题（如节点到达顺序推断和图压缩）的影响。

提出的方法

• 通过分析图自同构群来确定优先连接图的对称性特性。
• 证明当 $ m \geq 3 $ 时，随着图的增长，非平凡自同构的概率趋于零。
• 推导出给定图通过优先连接机制可能被生成的方式数量的上下界。
• 利用对称性结果估计模型的结构熵，其定义为不同生成路径数量的对数。
• 应用概率与组合技术分析在增长随机图中出现对称性的可能性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ m \geq 3 $ 时，优先连接模型是否渐近地具有不对称性？
• RQ2 在优先连接机制下，能生成给定图的独立生成序列有多少种？
• RQ3 优先连接模型的结构熵是多少？它与对称性有何关系？
• RQ4 对称性特性如何影响信息论任务（如节点排序推断）？

主要发现

• 当 $ m \geq 3 $ 时，优先连接图几乎必然具有不对称性，从而证实了该猜想。
• 给定图的可能生成路径数量是受限制的，从而支持了熵的估计。
• 当 $ m \geq 3 $ 时，由于缺乏对称性，该模型的结构熵受到严格约束。
• 结果表明，优先连接机制下的图结构对节点到达顺序具有高度信息量。