[论文解读] Pregeometric Spaces from Wolfram Model Rewriting Systems as Homotopy Types

Xerxes D. Arsiwalla, Jonathan Gorard|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2021

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 7

一句话总结

本文提出，在 Wolfram 模型中，前几何空间从非确定性重写系统形式化为同伦类型而涌现，其中高阶范畴结构——特别是 ∞-群胚和 (∞,1)-拓扑——以综合方式编码几何。通过将多路重写系统建模为类型论构造，作者表明空间和拓扑结构可从纯粹离散的句法规则范畴性地涌现，而无需假设背景几何。

ABSTRACT

How do spaces emerge from pregeometric discrete building blocks governed by computational rules? To address this, we investigate non-deterministic rewriting systems (multiway systems) of the Wolfram model. We express these rewriting systems as homotopy types. Using this new formulation, we outline how spatial structures can be functorially inherited from pregeometric type-theoretic constructions. We show how higher homotopy types are constructed from rewriting rules. These correspond to morphisms of an $n$-fold category. Subsequently, the $n \ o \\infty$ limit of the Wolfram model rulial multiway system is identified as an $\\infty$-groupoid, with the latter being relevant given Grothendieck's homotopy hypothesis. We then go on to show how this construction extends to the classifying space of rulial multiway systems, which forms a multiverse of multiway systems and carries the formal structure of an ${\\left(\\infty, 1\ ight)}$-topos. This correspondence to higher categorical structures offers a new way to understand how spaces relevant to physics may arise from pregeometric combinatorial models. A key issue we have addressed here is to relate abstract non-deterministic rewriting systems to higher homotopy spaces. A consequence of constructing spaces and geometry synthetically is that it eliminates ad hoc assumptions about geometric attributes of a model such as an a priori background or pre-assigned geometric data. Instead, geometry is inherited functorially by higher structures. This is relevant for formally justifying different choices of underlying spacetime discretization adopted by models of quantum gravity. We conclude with comments on how our framework of higher category-theoretic combinatorial constructions, corroborates with other approaches investigating higher categorical structures relevant to the foundations of physics.

研究动机与目标

• 本文旨在形式化几何与拓扑结构如何从纯粹前几何的离散重写系统中涌现。
• 它解决了在不预先假设几何或拓扑数据的前提下推导时空几何这一基础性挑战。
• 其目标是为物理学提供一种综合的、类型论基础，使几何不是被强加而是从高阶同伦结构中继承而来。
• 它旨在通过表明其底层离散化方案可借助同伦类型论与高阶范畴论理解，从而统一多种量子引力方法。

提出的方法

• Wolfram 模型的多路重写系统通过同伦类型论（HoTT）形式化为类型论构造。
• 重写规则被解释为 n 重范畴中的态射，生成作为推导之间路径的高阶同伦。
• rulial 多路系统在 n→∞ 极限下被识别为 ∞-群胚，满足 Grothendieck 的同伦假设。
• rulial 多路系统的分类空间被证明形成一个 (∞,1)-拓扑，为具有丰富范畴结构的多世界多路系统提供支持。
• 该框架使用 Voevodsky 的同一性公理，将逻辑与几何推理内化于 rulial 多路系统的拓扑中。
• 几何通过从全局高阶结构范畴性继承而推导，避免了对背景时空的任意假设。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Wolfram 模型中，空间与拓扑结构如何从纯粹离散的非几何重写规则中涌现？
• RQ2 高阶同伦在多路重写系统中编码几何结构的作用是什么？
• RQ3 rulial 多路系统作为 ∞-群胚的极限如何与同伦假设及综合几何相关联？
• RQ4 rulial 多路系统的分类空间以何种方式形成一个 (∞,1)-拓扑？该结构如何支持物理理论的多世界结构？
• RQ5 同伦类型论的框架能否为量子引力中不同的时空离散化方案提供形式化依据？

主要发现

• Wolfram 模型的多路重写系统被正式表达为同伦类型，使几何能从离散规则中综合构造。
• 系统中的高阶同伦被构造为 n 重范畴中的态射，其 n→∞ 极限形成 ∞-群胚。
• rulial 多路系统的分类空间形成一个 (∞,1)-拓扑，为物理理论提供正式的多世界结构。
• 几何与拓扑范畴性地继承自全局高阶范畴结构，消除了对背景假设的需求。
• 该框架支持一种综合的物理学方法，其中空间与时间从类型论与同伦构造中涌现。
• 该模型通过高阶范畴论构造，为量子引力、范畴量子力学与拓扑场论提供统一的元框架。