[论文解读] Prehomogeneous Affine Representations and Flat Pseudo-Riemannian Manifolds

Oliver Baues|ArXiv.org|Sep 4, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 101被引用 4

一句话总结

本文建立了李群的预齐次仿射表示与平坦伪黎曼、仿射及辛流形之间的深刻联系。文章发展了这些表示的特征类与不变量，证明了非零相对上同调类的存在性等价于齐次空间上不变测度的存在性，从而将科祖尔关于单模李群的结果推广至一般齐次空间。

ABSTRACT

The theory of flat Pseudo-Riemannian manifolds and flat affine manifolds is closely connected to the topic of prehomogeneous affine representations of Lie groups. In this article, we exhibit several aspects of this correspondence. At the heart of our presentation is a development of the theory of characteristic classes and characters of prehomogeneous affine representations. We give applications concerning flat affine, as well as Pseudo-Riemannian and symplectic affine flat manifolds.

研究动机与目标

• 阐明平坦伪黎曼、仿射及辛流形与李群的预齐次仿射表示之间的对应关系。
• 为预齐次仿射表示建立特征类与特征标理论。
• 通过上同调与代数条件刻画齐次空间 $G/H$ 上不变测度存在的条件。
• 将科祖尔关于单模李群上同调上层的非零结果推广至具有拟不变测度的一般齐次空间。
• 为预齐次表示的传递性与单模性提供上同调判别准则。

提出的方法

• 利用发展映射与单体表示，将平坦流形与 $(X,G)$-结构联系起来。
• 应用带一维模系数的李代数上同调来定义特征类。
• 为齐次空间 $X=G/H$ 引入相对不变量与单模特征标 $\Delta_{G/H}$。
• 通过相对李代数上同调 $H^n(\mathfrak{g}, \mathfrak{h}, \mathbb{R}_{\bar{\lambda}})$ 构造特征类。
• 依赖伴随表示 $\mathrm{Ad}_{G/H}$ 计算 $\Delta_{G/H}(h) = |\det \mathrm{Ad}_{G/H}(h)|$。
• 建立半不变测度的右不变性与条件 $\lambda \cdot \Delta_{G/H}^{-1} \equiv 1$ 在 $N_G(H)^0$ 上成立之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 预齐次仿射表示如何与平坦伪黎曼与仿射流形的几何相关联？
• RQ2 何种上同调不变量可刻画齐次空间 $G/H$ 上不变或拟不变测度存在的条件？
• RQ3 在何种条件下，$G/H$ 上的拟不变测度在 $N_G(H)^0$ 作用下成为右不变？
• RQ4 相对上同调 $H^n(\mathfrak{g}, \mathfrak{h}, \mathbb{R}_{\bar{\lambda}})$ 如何检测此类测度的存在性？
• RQ5 该理论如何将科祖尔关于单模李群的结果推广至非单模情形？

主要发现

• 相对上同调类 $H^n(\mathfrak{g}, \mathfrak{h}, \mathbb{R}_{\bar{\lambda}}) \neq \{0\}$ 非零，当且仅当存在具有特征标 $\lambda$ 的拟不变测度于 $G/H$ 上。
• 齐次空间 $G/H$ 上的拟不变测度 $\mu$ 在 $N_G(H)^0$ 作用下右不变，当且仅当在 $N_G(H)^0$ 上有 $\lambda \cdot \Delta_{G/H}^{-1} \equiv 1$。
• 当 $G$ 为幂零时，条件 $H^n(\mathfrak{g}, \mathfrak{h}, \mathbb{R}_{\bar{\lambda}}) \neq \{0\}$ 成立，当且仅当 $\lambda \equiv 1$ 在 $N_G(H)^0$ 上成立。
• 单模特征标 $\Delta_{G/H}$ 由 $|\det \mathrm{Ad}_{G/H}(h)|$ 给出，且与测度的选择无关。
• 该理论推广了科祖尔定理：$H^n(\mathfrak{g}, \mathbb{R}) \neq \{0\}$ 当且仅当 $G$ 是单模的。
• 齐次空间 $G/H$ 上存在不变测度，当且仅当 $\Delta_{G/H} \equiv 1$ 在 $H$ 上成立，且上同调判别准则通过 $H^n(\mathfrak{g}, \mathfrak{h}, \mathbb{R}) \neq \{0\}$ 确认了这一点。