[论文解读] Preprocessing Ambiguous Imprecise Points

Ivor van der Hoog, Irina Kostitsyna+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Data Management and Algorithms参考文献 8被引用 2

一句话总结

本文引入了模糊度 A(R) 作为不确定点集中区域重叠的精细化度量，支持在 O(A(R)) 时间内进行预处理，以实现排序和四叉树构建。证明了 A(R) 是邻近结构重建时间的紧下界，适用于区间排序和 d 维单位圆盘。

ABSTRACT

Let ${R} = \{R_1, R_2, ..., R_n\}$ be a set of regions and let $ X = \{x_1, x_2, ..., x_n\}$ be an (unknown) point set with $x_i \in R_i$. Region $R_i$ represents the uncertainty region of $x_i$. We consider the following question: how fast can we establish order if we are allowed to preprocess the regions in $R$? The preprocessing model of uncertainty uses two consecutive phases: a preprocessing phase which has access only to ${R}$ followed by a reconstruction phase during which a desired structure on $X$ is computed. Recent results in this model parametrize the reconstruction time by the ply of ${R}$, which is the maximum overlap between the regions in ${R}$. We introduce the ambiguity $A({R})$ as a more fine-grained measure of the degree of overlap in ${R}$. We show how to preprocess a set of $d$-dimensional disks in $O(n \log n)$ time such that we can sort $X$ (if $d=1$) and reconstruct a quadtree on $X$ (if $d\geq 1$ but constant) in $O(A({R}))$ time. If $A({R})$ is sub-linear, then reporting the result dominates the running time of the reconstruction phase. However, we can still return a suitable data structure representing the result in $O(A({R}))$ time. In one dimension, ${R}$ is a set of intervals and the ambiguity is linked to interval entropy, which in turn relates to the well-studied problem of sorting under partial information. The number of comparisons necessary to find the linear order underlying a poset $P$ is lower-bounded by the graph entropy of $P$. We show that if $P$ is an interval order, then the ambiguity provides a constant-factor approximation of the graph entropy. This gives a lower bound of $Ω(A({R}))$ in all dimensions for the reconstruction phase (sorting or any proximity structure), independent of any preprocessing; hence our result is tight.

研究动机与目标

• 为解决 ply 作为不确定点集中区域重叠粗略度量的局限性。
• 开发一种更精细的度量——模糊度 A(R)，以更准确地捕捉重叠程度。
• 证明 A(R) 是邻近结构重建时间的紧下界。
• 展示在 O(A(R)) 时间内实现排序和四叉树构建的高效预处理。
• 将模糊度与区间熵及偏序关系的线性扩展数量联系起来，为部分信息下的排序提供新界。

提出的方法

• 将模糊度 A(R) 定义为所有排列中，与之前区域交集数量之和的最小值。
• 使用一种包含兼容的排列 π 来引导动态平衡 Fibonacci 树 E 的构建。
• 通过按 π 顺序插入点，构建一个 2-形变四叉树 T，利用叶指针和锚点实现高效定位。
• 应用一种动态树结构，在插入过程中通过 O(A(R)) 次操作维持平衡。
• 利用每个区域在四叉树中至多与 O(|Γπ_i|) 个叶节点相交的事实，其中 |Γπ_i| 表示与区域 Ri 重叠的先前区域数量。
• 证明通过邻居指针和锚点，四叉树内的点定位操作可在 O(log |Γπ_i|) 时间内完成。

实验结果

研究问题

• RQ1 模糊度 A(R) 是否能作为不确定点集中区域重叠的更精确度量，优于 ply？
• RQ2 A(R) 是否是重建邻近结构（如四叉树）的时间复杂度的紧下界？
• RQ3 模糊度与区间熵及偏序关系中线性扩展数量之间有何关系？
• RQ4 是否能以 O(n log n) 时间完成预处理，从而在 O(A(R)) 时间内实现排序和四叉树的重建？
• RQ5 A(R) 是否能被高效近似，且是否能改进现有熵计算的界？

主要发现

• 模糊度 A(R) 是区间图熵的常数因子近似，为排序和邻近结构重建提供了 Ω(A(R)) 的下界。
• 在完成 O(n log n) 预处理后，可通过 Θ(A(R)) 时间实现由区间表示的不精确点的排序。
• 通过所提预处理方法，可在 Θ(A(R)) 时间内重建 d 维单位圆盘的 2-形变四叉树。
• A(R) 的 3-近似可在 O(n log n) 时间内计算，使其在实践中具有高效可用性。
• 该方法将区间图熵近似状态的最先进复杂度从 O(n^2.5) 提升至 O(n log n)。
• 该方法可推广至常数维下的单位大小胖凸区域，同时保持 O(A(R)) 的重建时间。