[论文解读] Prescribed mass ground states for a doubly nonlinear Schr\"odinger equation in dimension one

Filippo Boni, Simone Dovetta|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2019

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 54被引用 22

一句话总结

本文在各种临界性情形下，建立了具有标准幂非线性和位于原点的点态非线性的二维一维双重非线性薛定谔方程的基态存在性与唯一性。证明表明：当两种非线性均为次临界时，所有质量下均存在且唯一；当一种为临界、另一种为次临界时，仅在临界质量阈值处存在；在双重临界情形下，仅在特定临界质量处存在基态，且该临界质量因非线性相互作用而低于单独临界情形下的临界质量。

ABSTRACT

We investigate the problem of existence and uniqueness of ground states at fixed mass for two families of focusing nonlinear Schr\"odinger equations on the line. The first family consists of NLS with power nonlinearities concentrated at a point. For such model, we prove existence and uniqueness of ground states at every mass when the nonlinearity power is $L^2-$subcritical and at a threshold value of the mass in the $L^2-$critical regime. The second family is obtained by adding a standard power nonlinearity to the previous setting. In this case, we prove existence and uniqueness at every mass in the doubly subcritical case, namely when both the powers related to the pointwise and the standard nonlinearity are subcritical. If only one power is critical, then existence and uniqueness hold only at masses lower than the critical mass associated to the critical nonlinearity. Finally, in the doubly critical case ground states exist only at critical mass, whose value results from a non--trivial interplay between the two nonlinearities.

研究动机与目标

• 在实轴上对具有标准幂非线性和位于原点的点态非线性的双重非线性薛定谔方程，建立在固定质量下基态的存在性与唯一性。
• 分析能量泛函在不同临界性情形下的行为：双重次临界、单临界（一个临界，一个次临界）和双重临界（两者均为临界）。
• 精确确定基态存在的质量阈值，特别是在临界情形下，并研究两种非线性在塑造临界质量中的相互作用。
• 证明在双重临界情形（p=6, q=4）下，基态仅在唯一临界质量 µ∗ 处存在，且该质量严格小于单独标准非线性和点态非线性情形下的临界质量。

提出的方法

• 研究在质量约束 ∥u∥²₂ = µ 下，H¹(R) 上的能量泛函 Fp,q(u) = 1/2∥u′∥²₂ − 1/p∥u∥ᵖₚ − 1/q|u(0)|^q。
• 采用变分方法，包括强制性论证和加代尔加多-利拉姆伯格不等式，以建立有界性并证明极小化序列的存在性。
• 在双重临界情形（p=6, q=4）下，利用标度不变性（F6,4(uλ) = λ²F6,4(u)）和能量泛函的上半连续性来刻画临界质量 µ∗。
• 通过反证法和弱收敛性论证证明在 µ∗ 处基态的存在性，表明在 µ∗ 处任意极小化序列的任意弱极限均非平凡且达到下确界。
• 通过拼接两个孤子解（满足 u'' + |u|^{p-2}u = ωu 的解）并满足 x=0 处的非线性跳跃条件：u′(0⁻) − u′(0⁺) = |u(0)|^{q−2}u(0)，构造解。
• 利用孤子解的显式形式 φ(x) = [p/(2ω)(1 − tanh²(...))]^{1/(p−2)}，通过匹配条件的积分推导出临界质量 µ∗。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种非线性参数 (p, q) 条件下，基态在每个固定的质量 µ > 0 处均存在？
• RQ2 当一种或两种非线性处于其 L²-临界幂时，基态的存在性与唯一性如何变化？
• RQ3 标准幂非线性与位于原点的点态非线性之间的相互作用如何影响临界质量阈值？
• RQ4 在双重临界情形（p=6, q=4）下，临界质量 µ∗ 是否等于、大于或小于单独非线性情形下的临界质量？

主要发现

• 当 2 < p < 6 且 2 < q < 4（双重次临界情形）时，所有 µ > 0 下基态均存在且唯一。
• 当 p = 6（L²-临界）且 2 < q < 4（次临界）时，基态仅在 µ < √3 π / 2 时存在，且能量 F6,q(µ) = −∞ 对于 µ ≥ √3 π / 2。
• 当 2 < p < 6（次临界）且 q = 4（L²-临界）时，基态仅在 µ < 2 时存在，且能量 Fp,4(µ) = −∞ 对于 µ ≥ 2。
• 在双重临界情形（p=6, q=4）下，基态仅在唯一临界质量 µ∗ = √3 (π/2 − arcsin(√(3/7))) 处存在，且 F6,4(µ) = 0 对于 µ ≤ µ∗，F6,4(µ) = −∞ 对于 µ > µ∗。
• 临界质量 µ∗ 严格小于两个单独临界质量 √3 π / 2 和 2，表明两种非线性之间存在非平凡的相互作用，从而降低了阈值。
• 在双重临界情形下，所有静止方程的解均具有相同的质量 µ∗，且对所有 ω > 0 有 F6,4(ϕω) = 0，确认整个族 {ϕω}ω>0 均为 µ∗ 处的基态。