[论文解读] Prescribing integral curvature equation

Mei‐Jun Zhu|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 31被引用 5

一句话总结

本文通过奇异积分算子在 $\mathbb{S}^{n}$ 上引入了一类新的积分曲率算子，为指定曲率函数提供了共形协变框架。它证明了在 $\mathbb{S}^{n}$ 上对称于对径点的曲率函数存在正解，首次在该对称性下解决了 $\mathbb{S}^{3}$ 上 $Q$-曲率指定问题的存在性结果。

ABSTRACT

In this paper we formulate new curvature functions on $\mathbb{S}^n$ via integral operators. For certain even orders, these curvature functions are equivalent to the classic curvature functions defined via differential operators, but not for all even orders. Existence result for antipodally symmetric prescribed curvature functions on $\mathbb{S}^n$ is obtained. As a corollary, the existence of a conformal metric for an antipodally symmetric prescribed $Q-$curvature functions on $\mathbb{S}^3$ is proved. Curvature function on general compact manifold as well as the conformal covariance property for the corresponding integral operator are also addressed, and a general Yamabe type problem is proposed.

研究动机与目标

• 通过积分算子而非微分算子来制定 $\S^n$ 上的新曲率函数。
• 通过提出一种新颖的积分形式，解决长期悬而未决的在 $\S^3$ 上指定 $Q$-曲率的问题。
• 通过积分方程建立在 $\S^n$ 上对称于对径点的曲率函数的存在性结果。
• 将共形几何的框架扩展至包含具有共形协变性质的积分算子。
• 探讨积分算子与高阶 GJMS 型微分算子之间的关系。

提出的方法

• 利用共形拉普拉斯算子的格林函数定义积分算子 $I_{M^{n},g_{0},\beta}(f)(x) = \int_{M^{n}} [G^{g_{0}}(y,x)]^{\frac{\alpha-n}{2-n}} f(y) dV_{g_{0}}(y)$。
• 建立共形协变性质：在共形变换 $g_1 = \phi^{\frac{4}{n-\alpha}} g_0$ 下，有 $I_{g_{1},\alpha}(u) = \phi^{\frac{\alpha-n}{n-2}} I_{g_{0},\alpha}(\phi^{\frac{2n}{n-\alpha} + \frac{\alpha-n}{n-2}} u)$。
• 将 $\alpha$-曲率 $Q_{\alpha,g}$ 定义为满足 $\phi(x) = I_{M^{n},g_{0},\alpha}(Q_{\alpha,g} \phi^{\frac{n+\alpha}{n-\alpha}})$ 的函数。
• 证明当 $\alpha > n$ 且 $R$ 对称于对径点时，积分方程 $u(\xi) = \int_{\mathbb{S}^n} R(\eta) u^{\frac{n+\alpha}{n-\alpha}}(\eta) |\xi - \eta|^{\alpha - n} d\eta$ 存在正解。
• 利用共形协变性和积分形式，绕过微分算子（如 $(-\Delta)^2$）在某些情况下无法产生非平凡曲率的缺陷。
• 借助 Caffarelli-Silvestre 延拓方法，建立积分算子与分数阶拉普拉斯算子之间的联系，并将其与 GJMS 算子框架关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $\S^n$ 上通过积分算子定义一类新的曲率函数，使其在某些偶数阶下等价于经典微分曲率算子，但并非对所有阶都成立？
• RQ2 在 $\S^3$ 上，$Q$-曲率问题的积分形式是否对对称于对径点的曲率函数存在正解？
• RQ3 在度量的共形变换下，所提出的积分算子 $I_{M^{n},g_{0},\alpha}$ 的共形协变性质是什么？
• RQ4 积分曲率算子在共形几何中如何与 GJMS 算子及分数阶拉普拉斯算子相关联？
• RQ5 积分形式能否解决微分算子形式中导致不存在性的障碍（如 Kazdan-Warner 障碍）？

主要发现

• 本文证明了当 $\alpha > n$ 且 $R$ 对称于对径点时，积分曲率方程 $u(\xi) = \int_{\mathbb{S}^n} R(\eta) u^{\frac{n+\alpha}{n-\alpha}}(\eta) |\xi - \eta|^{\alpha - n} d\eta$ 存在正解。
• 作为推论，证明了在 $\mathbb{S}^3$ 上存在一个共形度量，其指定的 $Q$-曲率满足对称于对径点的条件。
• 证明了所提出的积分算子 $I_{M^{n},g_{0},\alpha}$ 在共形度量变换 $g_1 = \phi^{\frac{4}{n-\alpha}} g_0$ 下具有共形协变性质，推广了经典共形拉普拉斯算子的共形协变性。
• 通过积分方程 $\phi(x) = I_{M^{n},g_{0},\alpha}(Q_{\alpha,g} \phi^{\frac{n+\alpha}{n-\alpha}})$ 定义了所提出的 $\alpha$-曲率 $Q_{\alpha,g}$，当 $\alpha = 2$ 时，该定义退化为标量曲率。
• 该框架解决了标准球面上微分算子（如 $(-\Delta)^2$）导致 $Q$-曲率为零的问题，因为积分形式避免了这一缺陷。
• 本文建立了积分算子与 GJMS 算子之间的联系，并通过 Hang 和 Yang [27] 的结果确认：在 $\alpha = 4$ 的情况下，积分算子对应于 GJMS 算子。