[论文解读] Presentation of the Motzkin Monoid

Eliezer Posner, Kris Hatch+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文通过生成元与关系给出了莫茨金幺半群的有限表示，聚焦于平面上的回旋幺半群作为回旋幺半群的子幺半群。研究证明，平面上的回旋幺半群 $ P_n $ 的阶为 $ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 $，该结果通过计数具有 $ k $ 条非交叉边的平面图得出，并通过顶点集与底面顶点集以及图的乘法，系统地建立了理解其结构的代数框架。

ABSTRACT

In 2010, Tom Halverson and Georgia Benkart introduced the Motzkin algebra, a generalization of the Temperley-Lieb algebra, whose elements are diagrams that can be multiplied by stacking one on top of the other. Halverson and Benkart gave a diagrammatic algorithm for decomposing any Motzkin diagram into diagrams of three subalgebras: the Right Planar Rook algebra, the Temperley-Lieb algebra, and the Left Planar Rook algebra. We first explore the Right and Left Planar Rook monoids, by finding presentations for these monoids by generators and relations, using a counting argument to prove that our relations suffice. We then turn to the newly-developed Motzkin monoid, where we describe Halverson's decomposition algorithm algebraically, find a presentation by generators and relations, and use a counting argument but with a much more sophisticated algorithm.

研究动机与目标

• 通过生成元与定义关系，提供莫茨金幺半群的有限代数表示。
• 将平面上的回旋幺半群 $ P_n $ 作为回旋幺半群 $ R_n $ 的子幺半群进行结构表征。
• 利用非交叉图配置，建立 $ P_n $ 阶的组合公式。
• 定义并分析生成元 $ l_i $ 的作用，其作用为从顶面集合中移除单个顶点，同时保持平面性。
• 形式化图乘法作为平面回旋幺半群中保持平面性的封闭运算。

提出的方法

• 将平面上的回旋幺半群 $ P_n $ 定义为具有 $ n $ 个顶点在上方和 $ n $ 个顶点在下方的所有平面图的集合，其边为非交叉的。
• 利用顶面与底面顶点集 $ \tau(d) $ 和 $ \beta(d) $ 唯一确定每个图 $ d $。
• 证明两个平面上的回旋图的乘积仍为平面图，从而确保 $ P_n $ 在乘法下封闭。
• 推导出 $ P_n $ 的阶为 $ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 $，即计数所有具有 $ k $ 条边的可能非交叉配置。
• 引入生成元 $ l_i $，使得 $ \tau(l_i) = [n] \setminus \{i+1\} $，表示从顶面移除单个顶点。
• 使用图乘法来建模幺半群运算，保持平面性与边的非交叉性。

实验结果

研究问题

• RQ1 莫茨金幺半群的有限表示（以生成元与关系表示）是什么？
• RQ2 如何从代数角度表征平面上的回旋幺半群 $ P_n $ 作为 $ R_n $ 的子幺半群？
• RQ3 阶为 $ n $ 的平面上的回旋图的总数是多少？其组合推导过程如何？
• RQ4 生成元 $ l_i $ 如何作用于顶点集以生成有效的平面图？
• RQ5 在平面上的回旋幺半群背景下，图乘法的封闭性性质是什么？

主要发现

• 平面上的回旋幺半群 $ P_n $ 的阶为 $ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 $，该结果通过计数所有具有 $ k $ 条边的非交叉配置得出。
• 每个平面上的回旋图由其顶面与底面顶点集 $ \tau(d) $ 和 $ \beta(d) $ 唯一确定，其中 $ \tau(d) \subseteq [n] $，$ \beta(d) \subseteq [n]' $。
• 两个平面上的回旋图的乘积始终为平面图，证实 $ P_n $ 是回旋幺半群 $ R_n $ 的子幺半群。
• 生成元 $ l_i $ 定义为 $ \tau(l_i) = [n] \setminus \{i+1\} $，表示从顶行移除顶点 $ i+1 $。
• 幺半群运算在图乘法下是封闭且结合的，保持平面性与非交叉边配置。
• $ P_n $ 的结构完全由非交叉匹配与顶点子集对的组合学决定。