[论文解读] Presentations of linear monoidal categories and their endomorphism algebras

Bingyan Liu|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文提出了一套系统化的方法，通过生成元与关系来呈现线性有单的范畴，并展示了如何将这些范畴的等价表示转化为线性范畴。其核心贡献是一种构造性方法，可从单范畴的表示中获得自同态代数的表示，从而能够将这些代数识别为已知结构（如仿射折积代数）。

ABSTRACT

We give the definition of presentations of linear monoidal categories. Our main result is that given a presentation of a linear monoidal category, we can produce a presentation of the same category as a linear category. We apply this result to endomorphism algebras of certain important linear monoidal categories.

研究动机与目标

• 正式定义线性有单范畴的表示，这一概念在标准文献中尚付之阙如。
• 通过显式构造，确保从生成元与关系出发构建自由线性有单范畴的存在性。
• 提供一种系统化的方法，将单范畴表示转化为线性范畴表示，同时保持范畴结构。
• 通过将自同态代数约化为线性范畴表示，分析线性有单范畴的自同态代数。
• 利用推导出的表示，将特定自同态代数（如仿射折积范畴中的代数）识别为已知的结合代数。

提出的方法

• 使用生成对象 $X$、生成态射 $E$ 和关系 $R$ 定义线性范畴的表示，记为 $\langle X, E, R \rangle$。
• 通过在生成对象集 $X$ 和态射集 $E$ 上定义自由线性有单范畴，并将关系 $R$ 作为张量理想施加，引入单范畴的类比。
• 通过生成对象上的自由幺半群 $M(X)$，显式构造自由线性有单范畴，使用形式张量积和关系。
• 从单范畴表示 $\langle X, E, R \rangle_{\otimes}$ 导出线性范畴表示 $\langle M(X), \bar{E}, \bar{R} \rangle$，其中 $\bar{E}$ 由态射 $1_v \otimes e \otimes 1_w$ 构成。
• 将 $\bar{E}$ 中态射的交换律纳入考虑，并通过 $1_v \otimes r \otimes 1_w$ 提升关系 $R$，以保持单范畴结构。
• 将该构造应用于所有生成元均为自同态的单范畴生成代数，从而通过 $\langle M(X), \bar{E}, \bar{R} \rangle$ 获得自同态代数的表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过生成元与关系正式定义线性有单范畴的表示？
• RQ2 从给定生成元与关系出发，自由线性有单范畴的精确构造是什么？
• RQ3 如何将通过生成元与关系表示的线性有单范畴重述为具有等价表示的线性范畴？
• RQ4 当所有生成态射均为自同态时，线性有单范畴的自同态代数具有何种结构？
• RQ5 哪些著名的结合代数会作为重要线性有单范畴（如仿射折积范畴）的自同态代数出现？

主要发现

• 本文构造了线性有单范畴的表示 $\langle M(X), \bar{E}, \bar{R} \rangle$ 作为线性范畴，其中 $M(X)$ 是生成对象上的自由幺半群。
• 态射 $\bar{E}$ 的形式为 $1_v \otimes e \otimes 1_w$，关系 $\bar{R}$ 通过张量单位扩展和交换律从 $R$ 导出。
• 对于所有生成元为自同态的单范畴生成代数，其自同态代数通过 $\langle M(X), \bar{E}, \bar{R} \rangle$ 表示，从而实现代数分析。
• 自同态代数 $\operatorname{End}_{\mathcal{AW}(A)}(\uparrow^{\otimes d})$ 同构于仿射折积代数 $\Bbbk[x_1,\dots,x_d] \otimes A^{\otimes d} \otimes \Bbbk S_d$。
• 该同构通过从张量代数到自同态代数的满射线性映射实现，而单射性已在先前工作中建立（Sav17，定理 4.6）。
• 该构造可推广至折积范畴的量子版与仿射版，从而扩展其在范畴化语境中的适用性。