[论文解读] Presenting convex sets of probability distributions by convex semilattices and unique bases

Bonchi, Filippo, Sokolova, Ana+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2020

Bayesian Modeling and Causal Inference参考文献 3被引用 14

一句话总结

本文证明了每个有限生成的、具有有限支撑的概率分布凸集都具有唯一的基，并利用该结果证明凸概率分布集合的单子由凸半格的代数理论所呈现。基的唯一性使得能够通过凸半格对单子进行范畴化表述，为结合了非确定性与概率性的系统提供了基础性的代数结构。

ABSTRACT

We prove that every finitely generated convex set of finitely supported probability distributions has a unique base, and use this result to show that the monad of convex sets of probability distributions is presented by the algebraic theory of convex semilattices.

研究动机与目标

• 建立每个有限生成的、具有有限支撑的概率分布凸集的基的存在性与唯一性。
• 提供一种替代证明，表明凸概率分布集合的单子由凸半格的代数理论所呈现。
• 通过利用唯一基性质，弥合代数结构（凸半格）与概率计算模型之间的联系。
• 通过基于凸组合与极值点的显式、构造性推理，形式化凸单子的范畴化表述。

提出的方法

• 使用泛函分析证明唯一基定理，引用Krein-Milman定理，表明极点集合构成唯一的极小生成集。
• 通过构造性、显式方法证明基的唯一性，表明任一基元素都不能表示为其他元素的凸组合。
• 将集合 X 上的凸概率分布集合的单子记为 C(X)，定义为有限个具有有限支撑的分布的凸包。
• 构造从凸半格的词代数到凸单子的单子态射 ι，并通过唯一基性质证明其为同构。
• 利用唯一基证明，代数理论中任一项都唯一对应于极值分布的凸组合。
• 在凸半格理论中应用等式推理，以约简冗余的凸组合，确保表示的规范形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个有限生成的、具有有限支撑的概率分布凸集是否都具有唯一的极小生成集（基）？
• RQ2 凸概率分布集合的单子能否由凸半格理论代数地呈现？
• RQ3 凸半格符号中的项与分布的凸组合之间是否存在双射且保持结构的对应关系？
• RQ4 如何利用唯一基性质建立自由代数与凸单子之间的范畴同构？

主要发现

• 每个有限生成的、具有有限支撑的概率分布凸集都具有唯一的基，即基中的任一元素都不能表示为其他元素的凸组合。
• 凸集 S 的极点集合恰好是其唯一的基，且该基通过凸组合生成 S。
• 凸概率分布集合的单子同构于凸半格代数理论的自由代数。
• 单子映射 ι: TΣ,E → C 是同构，证明凸单子由凸半格理论所呈现。
• 唯一基性质确保凸单子中的每个元素都唯一对应于凸半格符号中的规范项。
• 在凸半格理论中应用等式推理，可将任意凸组合约简为其唯一的基，从而建立规范形式。