[论文解读] Preservation of Commutation Relations and Physical Realizability of Open Two-Level Quantum Systems

Luis A. Duffaut Espinosa, Zibo Miao+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2012

Quantum Information and Cryptography参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文為由双线性量子随机微分方程（QSDE）描述的开放两能级量子系统，建立了保持泡利对易关系的必要且充分条件。通过将物理实现性重新表述为正交场形式，证明了物理实现性可确保时间不变的自旋对易关系，从而解决了非线性量子系统相干反馈控制中的一项关键空白。

ABSTRACT

Coherent feedback control considers purely quantum controllers in order to overcome disadvantages such as the acquisition of suitable quantum information, quantum error correction, etc. These approaches lack a systematic characterization of quantum realizability. Recently, a condition characterizing when a system described as a linear stochastic differential equation is quantum was developed. Such condition was named physical realizability, and it was developed for linear quantum systems satisfying the quantum harmonic oscillator canonical commutation relations. In this context, open two-level quantum systems escape the realm of the current known condition. When compared to linear quantum system, the challenges in obtaining such condition for such systems radicate in that the evolution equation is now a bilinear quantum stochastic differential equation and that the commutation relations for such systems are dependent on the system variables. The goal of this paper is to provide a necessary and sufficient condition for the preservation of the Pauli commutation relations, as well as to make explicit the relationship between this condition and physical realizability.

研究动机与目标

• 为解决开放两能级量子系统缺乏系统性物理实现性表征的问题，这些系统是非线性的，且具有依赖于状态的对易关系。
• 通过将框架扩展至自旋系统，填补现有理论的空白，该理论仅适用于具有谐振子对易关系的线性量子系统。
• 建立一个严格条件，确保在开放两能级量子系统中，泡利对易关系在时间上得以保持。
• 阐明在双线性QSDE中，物理实现性与量子对易关系保持之间的关系。
• 通过正交表示重新表述物理实现性条件，以获得系统动力学的更自然、实矩阵形式。

提出的方法

• 推导出开放两能级系统的双线性量子随机微分方程（QSDE），通过系统哈密顿量 $ H $、耦合算符 $ L $ 和场湮灭算符对动力学进行建模。
• 引入玻色场的正交表示，使系统和物理实现性条件能够以实矩阵形式表示。
• 通过系统矩阵 $ G_1, G_2, F $ 的条件定义物理实现性，确保系统演化为幺正且保持量子结构。
• 应用矩阵恒等式和向量化技术（通过 $ ext{vec}^{-1} $）将算符方程转化为矩阵方程以供分析。
• 利用引理3和 $ heta $-映射的性质，推导出表征物理实现性的等价矩阵条件（34a）–（34c）。
• 通过证明对易子矩阵在时间上保持不变，证明了物理实现性意味着泡利对易关系的保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 在由双线性QSDE描述的开放两能级量子系统中，何种条件可确保泡利对易关系在时间上保持不变？
• RQ2 如何表征具有状态依赖对易关系的非线性、双线性QSDE的物理实现性？
• RQ3 在自旋系统中，物理实现性与量子对易关系保持之间的关系是什么？
• RQ4 物理实现性条件能否以正交场形式重新表述，以获得实矩阵表示？
• RQ5 物理实现性是否意味着开放两能级系统中存在幺正演化和一致的量子动力学？

主要发现

• 推导出保持泡利对易关系的必要且充分条件，以涉及 $ G_1, G_2, F $ 的矩阵方程（34a）–（34c）表示。
• 由条件（34a）–（34c）定义的物理实现性，确保系统动力学在所有时间均保持自旋算符的规范对易关系。
• 物理实现性条件通过正交场重新表述，得到系统及其约束的自伴实矩阵表示。
• 证明了条件 $ F^T + F + G_1 G_1^T + G_2 G_2^T = 0 $ 与迹条件 $ ext{Tr}(F) = rac{1}{2}( ext{Tr}(G_1^2) + ext{Tr}(G_2^2)) $ 等价，后者是保持对易子所必需的。
• 证明表明，若物理实现性条件成立，则对易子矩阵 $ [x, x^ op] $ 在时间上保持不变，从而确保一致的量子动力学。
• 本文确立了物理实现性意味着存在有效的哈密顿量 $ H $ 和耦合算符 $ L $，使得QSDE为幺正且物理可实现。