[论文解读] Preserving Distances in Very Faulty Graphs

Greg Bodwin, Fabrizio Grandoni+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 36被引用 4

一句话总结

该论文首次为在任意固定数量边故障下的无权图构造了真正亚二次规模的单对距离保留子图，实现了 $O(n^{2-g(f)})$ 的规模，其中 $f \geq 1$ 且 $g(f)$ 为正的递减函数。它建立了紧致的界限，表明仅当存在 $\Omega(\varepsilon f)$ 的加法误差时，才可能实现亚二次规模；并为加权图提供了匹配的上下界，证明在无向图中，当 $f \geq 2$ 时规模为 $\Theta(n^2)$，当 $f=1$ 时为 $\Theta(n)$。

ABSTRACT

Preservers and additive spanners are sparse (hence cheap to store) subgraphs that preserve the distances between given pairs of nodes exactly or with some small additive error, respectively. Since real-world networks are prone to failures, it makes sense to study fault-tolerant versions of the above structures. This turns out to be a surprisingly difficult task. For every small but arbitrary set of edge or vertex failures, the preservers and spanners need to contain {\em replacement paths} around the faulted set. In this paper we make substantial progress on fault tolerant preservers and additive spanners: (1) We present the first truly sub-quadratic size single-pair preservers in unweighted (possibly directed) graphs for \emph{any} fixed number $f$ of faults. Our result indeed generalizes to the single-source case, and can be used to build new fault-tolerant additive spanners (for all pairs). (2) The size of the above single-pair preservers is $O(n^{2-g(f)})$ for some positive function $g$, and grows to $O(n^2)$ for increasing $f$. We show that this is necessary even in undirected unweighted graphs, and even if you allow for a small additive error: If you aim at size $O(n^{2-ε})$ for $ε>0$, then the additive error has to be $Ω(\eps f)$. This surprisingly matches known upper bounds in the literature. (3) For weighted graphs, we provide matching upper and lower bounds for the single pair case. Namely, the size of the preserver is $Θ(n^2)$ for $f\geq 2$ in both directed and undirected graphs, while for $f=1$ the size is $Θ(n)$ in undirected graphs. For directed graphs, we have a superlinear upper bound and a matching lower bound. Most of our lower bounds extend to the distance oracle setting, where rather than a subgraph we ask for any compact data structure.

研究动机与目标

• 解决关于 $f \geq 3$ 条边故障下单对距离保留子图最坏规模的长期悬而未决问题。
• 填补对故障容错聚类图和保留子图理解的空白，特别是针对 $f > 2$ 的情况，此前该领域尚无非平凡界限。
• 为无权图和加权图建立紧致的下界与上界，包括首次为 $f \geq 3$ 构造出非平凡的亚二次规模保留子图。
• 证明仅当存在非平凡加法误差时，亚二次规模的保留子图才可能实现，且该误差被紧致地界定为 $\Omega(\varepsilon f)$，适用于 $O(n^{2-\varepsilon})$ 规模。

提出的方法

• 将 $f$-故障容错单对保留子图问题约化为修改图中 $f$-故障容错 $n$-对保留子图问题，利用故障边周围的替代路径。
• 采用模块化构造方法：路径 $Y$ 连接源点 $s$ 与目标点 $t$，中间节点通过连接至一个编码 $n$-对距离保留子图问题的基图 $K$。
• 通过证明任意 $1$-故障容错 $s$-$t$ 保留子图必须保留 $K$ 中的所有最短路径，从而建立下界，因此需要 $\Omega(\texttt{DP}(n))$ 条边。
• 证明对于 $f \geq 2$，在无向无权图中，任意 $f$-FT $s$-$t$ 保留子图的规模必须为 $\Omega(n^{2-\varepsilon})$（对任意 $\varepsilon > 0$），除非加法误差为 $\Omega(f)$。
• 通过一种新构造方法推导上界，该方法可在 $O(fmn)$ 时间内计算 $f$-FT 保留子图，且可推广至单源和全源情形。
• 利用 $f$-故障下替代路径需保留绕过 $f$-故障避免结构的路径这一事实，并通过组合论证界定此类路径的数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无权图中，$f \geq 3$ 条边故障下，单对距离保留子图的最坏规模是多少？
• RQ2 对于 $f \geq 3$，是否存在亚二次规模的 $f$-故障容错保留子图？若存在，其与加法误差之间的权衡关系如何？
• RQ3 在加权图中，$f$-故障容错距离保留子图的紧致界限是什么，特别是针对 $f=1$ 和 $f \geq 2$ 的情况？
• RQ4 在 $f \geq 2$ 时，即使加法误差很小，无权图中 $f$-FT 加法聚类图是否也存在超线性下界？
• RQ5 对于 $f \geq 3$，$f$-FT 单源保留子图的规模是否如猜想所示，下界为 $\Omega(n^{2-1/(f+1)})$？

主要发现

• 对于无权图，该论文构造了 $f$-故障容错单对保留子图，其规模为 $O(n^{2-g(f)})$，其中 $f \geq 1$ 为固定值，$g(f)$ 为正的递减函数。
• 在无权图中，任何规模为 $O(n^{2-\varepsilon})$ 的 $f$-FT $s$-$t$ 保留子图必须具有 $\Omega(\varepsilon f)$ 的加法误差，且该界限是紧致的。
• 对于加权图，无向图中 $1$-FT $s$-$t$ 保留子图的规模为 $\Theta(n)$，而有向图中为 $\Theta(\texttt{DP}(n))$，其中 $\texttt{DP}(n)$ 表示 $n$-对保留子图的稀疏性。
• 对于 $f \geq 2$，在加权图中，$f$-FT $s$-$t$ 保留子图的规模为 $\Theta(n^2)$，即使在无向图中也是如此，表明在 $f=1$ 处存在一个明显的分界点。
• 该论文证明，规模为 $\Omega(n^{2-\varepsilon})$ 的保留子图必须具有 $\Omega(\varepsilon f)$ 的加法误差，与文献中已知的上界完全匹配。
• 下界结果可推广至距离查询结构，表明若误差为 $o(f)$，则用于 $f$-FT 距离的紧凑数据结构也必须具有 $\Omega(n^{2-\varepsilon})$ 的规模。