[论文解读] Preserving Lagrangian structure in data-driven reduced-order modeling of large-scale dynamical systems

Harsh Sharma, Boris Kramer|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用 9

一句话总结

本文提出拉格朗日算子推理（L-OpInf），一种非侵入式数据驱动方法，通过将机械结构嵌入算子推理，从轨迹数据中直接学习大规模拉格朗日系统的结构保持型降阶模型（ROM），无需访问全阶模型算子。该方法可实现长时间预测，并在保守与非保守系统中对未见初始条件和控制输入保持鲁棒性，且能保持能量守恒与对称系统矩阵等结构特性。

ABSTRACT

This work presents a nonintrusive physics-preserving method to learn reduced-order models (ROMs) of Lagrangian systems, which includes nonlinear wave equations. Existing intrusive projection-based model reduction approaches construct structure-preserving Lagrangian ROMs by projecting the Euler-Lagrange equations of the full-order model (FOM) onto a linear subspace. This Galerkin projection step requires complete knowledge about the Lagrangian operators in the FOM and full access to manipulate the computer code. In contrast, the proposed Lagrangian operator inference approach embeds the mechanics into the operator inference framework to develop a data-driven model reduction method that preserves the underlying Lagrangian structure. The proposed approach exploits knowledge of the governing equations (but not their discretization) to define the form and parametrization of a Lagrangian ROM which can then be learned from projected snapshot data. The method does not require access to FOM operators or computer code. The numerical results demonstrate Lagrangian operator inference on an Euler-Bernoulli beam model, the sine-Gordon (nonlinear) wave equation, and a large-scale discretization of a soft robot fishtail with 779,232 degrees of freedom. The learned Lagrangian ROMs generalize well, as they can accurately predict the physical solutions both far outside the training time interval, as well as for unseen initial conditions.

研究动机与目标

• 开发一种非侵入式、数据驱动的方法，用于在无需访问全阶模型（FOM）算子或代码的前提下，学习大规模拉格朗日系统的降阶模型（ROM）。
• 在仅基于快照数据推导的 ROM 中，保持底层拉格朗日结构特性，如能量守恒与对称系统矩阵。
• 在保守与非保守系统中，实现对未见初始条件和控制输入的准确长时间预测与鲁棒泛化能力。
• 提供一种轻量级替代方案，避免对空间离散化或 FOM 实现细节的完整知识，从而替代侵入式模型降阶方法。

提出的方法

• 构建一个约束优化问题，以推断保持全阶系统拉格朗日结构的降阶算子。
• 基于已知的控制方程（但不包括其离散化形式）定义拉格朗日 ROM 的参数化形式，确保其物理解释性。
• 利用时间积分模拟得到的投影快照数据，通过算子推理学习 ROM 算子，同时保持系统矩阵的对称性与正定性。
• 通过约束推导出的算子满足欧拉-拉格朗日形式，将系统力学特性嵌入算子推理框架。
• 仅使用轨迹数据，将该方法应用于半离散化的 PDE，包括线性与非线性波动方程以及大规模柔性机器人模型。
• 通过强制学习到的 ROM 满足拉格朗日动力学的变分原理，即使在无法访问 FOM 算子的情况下，也确保结构保持性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不访问全阶模型算子或源代码的前提下，构建一种数据驱动的 ROM，以保持大规模动力系统底层拉格朗日结构？
• RQ2 所学习的 ROM 对未见初始条件和训练数据时间区间外的时间段的泛化能力如何？
• RQ3 该方法能否在保守与非保守（如受迫、耗散）拉格朗日系统中保持能量守恒与稳定性？
• RQ4 在精度、稳定性与能量追踪方面，非侵入式 L-OpInf ROM 与侵入式 ROM 相比表现如何？
• RQ5 该方法能否有效应用于具有数十万自由度的高维系统，如柔性机器鱼尾模型？

主要发现

• 对于欧拉-伯努利梁系统，L-OpInf ROM 在训练时间区间外的长时间预测中，能量误差保持有界且系统稳定。
• 在非线性 sine-Gordon 波方程中，仅从轨迹数据中学习到的 ROM 准确捕捉了动力学与能量行为，无需预先知晓非线性项。
• 在具有 779,232 个自由度的柔性机器人鱼尾模型中，ROM 在时变控制输入与耗散条件下仍能准确追踪系统能量。
• ROM 对未见初始条件与非光滑驱动输入表现出鲁棒性，步长输入情况下相对误差稳定在约 10−2 水平。
• 该方法在显著降低状态维度的同时保持了物理结构，适用于实时控制与状态估计。
• 在步长输入情况下，侵入式与非侵入式 ROM 均未能捕捉瞬态能量动力学，但 L-OpInf ROM 在位移跟踪方面表现略优。