[论文解读] Presheaf Models of Relational Modalities in Dependent Type Theory

Andreas Nuyts|arXiv (Cornell University)|May 17, 2018

Logic, programming, and type systems参考文献 1被引用 9

一句话总结

本文提出了一种依赖类型理论中关系性模态的预层模型，使用桥接/路径立方集来解释参数化和基于相关性的类型系统。通过丰富预层范畴，为参数化依赖类型理论和关系性依赖类型理论建立了形式语义，证明了在具有离散类型和相关度标注的凝聚、纤维化设定下，关键类型论构造如Glueing、Welding和同伦类型的存在性。

ABSTRACT

This report is an extension of 'A Model of Parametric Dependent Type Theory in Bridge/Path Cubical Sets' (Nuyts, arXiv:1706.04383). The purpose of this text is to prove all technical aspects of our model for dependent type theory with parametric quantifiers (Nuyts, Vezzosi and Devriese, 2017) and with degrees of relatedness (Nuyts and Devriese, 2018).

研究动机与目标

• 在桥接/路径立方集的预层范畴上，形式化参数化依赖类型理论（ParamDTT）的语义。
• 将该模型扩展以支持类型论中的相关度层级，从二元桥接/路径区分推广至多层级相关性。
• 在凝聚、纤维化的设定下，为关键类型论构造——Glueing、Welding、同伦类型和归纳类型——提供形式化解释。
• 利用范畴论与类型论工具，为依赖类型理论中的参数化与关系推理提供基础。

提出的方法

• 构建桥接/路径立方集的基范畴 BPCube，其中维度被标记为桥接或路径，并定义其桥接/路径立方集的预层范畴。
• 通过丰富范畴结构，将马丁-洛夫类型论的标准预层模型适配以支持参数化全称量词和关系性模态。
• 引入离散类型函子，并证明离散类型构成一个在类型论构造下封闭的全子范畴。
• 使用重排函子和提升技术，在存在区间变量和证明合成变量的情况下，建模上下文扩展与代换。
• 通过面谓词、系统和统一器定义并解释Glueing与Welding操作，确保其与定义等式和路径退化性的一致性。
• 应用公理化凝聚性，将 BPCube 预层范畴与标准立方体范畴关联，实现对离散性与纤维性的结构化处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在桥接/路径立方集范畴上的预层范畴中建模参数化依赖类型理论？
• RQ2 如何使用立方集在类型论设定中形式化具有相关度层级的关系性模态？
• RQ3 在具有离散类型的凝聚、纤维化设定下，Glueing 与 Welding 的范畴论与类型论行为如何？
• RQ4 重排函子与提升构造如何在存在区间变量和证明合成变量的情况下保持类型论结构？
• RQ5 能否构造一个支持完整依赖类型论且在Glueing与Welding下封闭的离散类型类型族？

主要发现

• 在 BPCube 上的预层范畴中，实现了 ParamDTT 的完全形式化解释，所有核心类型规则，包括 Glueing 与 Welding，均通过范畴论提升与凝聚性验证。
• 该模型支持一个在所有依赖类型构造（包括 Σ、Π、同伦类型和归纳类型）下封闭的离散类型类型族。
• 通过有限深度立方集引入相关度标注，实现了对二元桥接/路径区分之外的关系性参数化的精细化处理。
• Glueing 与 Welding 操作通过面谓词与系统进行解释，路径退化公理确保其与定义等式的一致性。
• 重排函子与提升伴随关系的使用，使得上下文扩展与代换的建模极为精确，尤其在存在区间与证明合成变量时。
• 该模型验证了焊接类型上的归纳原理，表明其在具有右伴随的中心重排函子下保持不变。