[论文解读] Pretty good state transfer on double stars

Xiaoxia Fan, Chris Godsil|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文建立了双星图 $S_{k,\ell}$ 中近乎完美量子态传输（PGST）的条件，证明在 $S_{2,\ell}$ 中，端点之间存在 PGST（当 $\ell > 2$ 时）；在 $S_{k,k}$ 中，中心点之间存在 PGST 当且仅当 $4k+1$ 不是完全平方数。结果揭示了量子态传输与数论条件之间的深刻联系，将已知具有 PGST 的图家族扩展至路径之外。

ABSTRACT

Let A be the adjacency matrix of a graph $X$ and suppose U(t)=exp(itA). We view A as acting on $\cx^{V(X)}$ and take the standard basis of this space to be the vectors $e_u$ for $u$ in $V(X)$. Physicists say that we have perfect state transfer from vertex $u$ to $v$ at time $τ$ if there is a scalar $γ$ such that $U(τ)e_u = γe_v$. (Since $U(t)$ is unitary, $ ormγ=1$.) For example, if $X$ is the $d$-cube and $u$ and $v$ are at distance $d$ then we have perfect state transfer from $u$ to $v$ at time $π/2$. Despite the existence of this nice family, it has become clear that perfect state transfer is rare. Hence we consider a relaxation: we say that we have pretty good state transfer from $u$ to $v$ if there is a complex number $γ$ and, for each positive real $ε$ there is a time $t$ such that $ orm{U(t)e_u - γe_v} < ε$. Again we necessarily have $|γ|=1$. Godsil, Kirkland, Severini and Smith showed that we have have pretty good state transfer between the end vertices of the path $P_n$ if and only $n+1$ is a power of two, a prime, or twice a prime. (There is perfect state transfer between the end vertices only for $P_2$ and $P_3$.) It is something of a surprise that the occurrence of pretty good state transfer is characterized by a number-theoretic condition. In this paper we study double-star graphs, which are trees with two vertices of degree $k+1$ and all other vertices with degree one. We prove that there is never perfect state transfer between the two vertices of degree $k+1$, and that there is pretty good state transfer between them if and only if $4k+1$ is a perfect square.

研究动机与目标

• 研究双星图 $S_{k,\ell}$（一类具有两个度数分别为 $k+1$ 和 $\ell+1$ 的中心顶点的树）中近乎完美态传输（PGST）的存在性。
• 确定在这些图中，PGST 是否发生在端点之间或中心点之间。
• 建立一个类似于路径 $P_n$ 中已知条件的数论条件，以描述 PGST。
• 证明在任何双星图中均不存在完美态传输，但 PGST 仍可能发生。

提出的方法

• 使用由 $U(t) = \exp(itA)$ 定义的连续时间量子行走，其中 $A$ 是图的邻接矩阵。
• 分析 $U(t)$ 在标准基向量 $e_u$ 和 $e_v$ 上的动力学，以评估从顶点 $u$ 到 $v$ 的态传输。
• 应用谱分解和特征值分析，以确定在何种条件下 $\|U(t)e_u - \gamma e_v\| < \epsilon$ 对任意小的 $\epsilon > 0$ 成立。
• 利用对称化商图技术，将问题简化为分析一个具有更少特征值的更小系统。
• 利用克罗内克逼近定理，证明当 $\alpha$ 为无理数时轨道的稠密性，从而实现对所需态传输的逼近。
• 证明单位酉群的闭包 $\overline{G}$ 是紧致的，且 PGST 暗示时间区间内的递归性，从而确保近似态传输的规律性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $S_{2,\ell}$ 中，当 $\ell > 2$ 时，端点之间是否存在近乎完美态传输？
• RQ2 在 $S_{k,k}$ 中，中心点之间在何种条件下发生近乎完美态传输？
• RQ3 为何在任何双星图中均不存在完美态传输？
• RQ4 是否存在类似于路径中 $n+1$ 为 2 的幂或为素数的数论刻画，用于描述双星图中的 PGST？
• RQ5 双星图中的 PGST 是否意味着时间上具有规律的重复模式？

主要发现

• 在任何双星图 $S_{k,\ell}$ 中均不存在完美态传输，无论 $k$ 和 $\ell$ 取何值。
• 在 $S_{2,\ell}$ 中，对于所有 $\ell > 2$，端点之间均存在近乎完美态传输，且与 $\ell$ 的具体值无关。
• 当 $k > 2$ 时，在 $S_{k,k}$ 中，两个中心点之间发生近乎完美态传输当且仅当 $4k+1$ 不是完全平方数。
• 当 $4k+1$ 是完全平方数时，系统具有周期性，即使特征值是有理倍数的 $\pi$，PGST 也不会发生。
• $S_{k,k}$ 中 PGST 的存在性仅由数论条件 $4k+1$ 不是完全平方数决定。
• PGST 暗示时间演化近似周期性，且对任意 $\epsilon > 0$，存在一个时间 $T$，使得每个长度为 $T$ 的时间区间内都包含一个时刻 $t$，使得 $U(t)$ 与实现 PGST 的态的误差小于 $\epsilon$。