[论文解读] Pretty simple bounds on quantum state discrimination

Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2019

Quantum Information and Cryptography参考文献 15被引用 4

一句话总结

该论文表明，pretty good measurement（PGM）可为最坏情况下的量子态鉴别提供高效且显式的解法：对于成对保真度远离1的混合态，O(log n / ε) 个副本即可实现失败概率 δ；对于纯态，成功概率受格拉姆矩阵 G 的算子范数 ∥G∥ 限制，从而可实现 Õ(∥G∥/ε) 个副本下 δ 的失败概率，当 ∥G∥ 较小时可获得更紧的界。

ABSTRACT

We show that the quantum measurement known as the pretty good measurement can be used to identify an unknown quantum state picked from any set of $n$ mixed states that have pairwise fidelities upper-bounded by a constant below 1, given $O(\log n)$ copies of the unknown state, with high success probability in the worst case. If the unknown state is promised to be pure, there is an explicit measurement strategy which solves this worst-case quantum state discrimination problem with $\widetilde{O}(\|G\|)$ copies, where $G$ is the Gram matrix of the states.

研究动机与目标

• 为最坏情况下的量子态鉴别提供显式、可构造的界，避免使用非构造性的极小化极大定理。
• 表明 pretty good measurement（PGM）在成对保真度有界的情况下，可实现混合态鉴别中接近最优的副本复杂度。
• 建立纯态鉴别中对格拉姆矩阵范数 ∥G∥ 的依赖关系，使得当 ∥G∥ 较小时可实现更优的缩放。
• 将先前关于平均情况鉴别的结果扩展至最坏情况设置，特别是针对随机纯态。
• 阐明将 ∥G∥ 基础的界推广至混合态时的局限性，表明其并非普遍适用。

提出的方法

• 将 pretty good measurement（PGM）定义为 μ_i = Σ^{-1/2} ρ_i Σ^{-1/2}，其中 Σ = ∑_i ρ_i，应用于未知态的副本。
• 利用态的格拉姆矩阵 G（或其加权特征向量）来通过算子范数 ∥G∥ 限制 PGM 的成功概率。
• 对纯态采用两阶段协议：首先对 k = O(∥G∥ log(1/δ)) 个副本应用 PGM 以识别候选态，然后通过投影测量进行验证。
• 使用联合界和指数尾部估计来限制失败概率 δ，利用不同态之间的保真度约束（tr(ρ_i ρ_j) ≤ 1−ε）。
• 通过 G 的谱性质推导 μ_i ρ_i 的迹，表明 ∥G∥^{-1} ≤ tr(μ_i ρ_i) ≤ ∥G^{-1}∥ tr(ρ_i^2)。
• 分析随机纯态（如哈尓或 ±1 振幅态）下 ∥G∥ 的行为，表明当 n = O(d) 时，∥G∥ = O(1) 的概率很高。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用 pretty good measurement（PGM）构造性地解决最坏情况下的量子态鉴别，使其副本复杂度与已知的非构造性界相匹配？
• RQ2 纯态格拉姆矩阵的算子范数 ∥G∥ 如何影响鉴别中的成功概率和所需副本数？
• RQ3 PGM 能否在成对保真度被 1−ε 限制的混合态下实现 O(log n / ε) 的副本复杂度？
• RQ4 当 ∥G∥ 较小时，能否在纯态鉴别中实现副本复杂度对 n 的次线性依赖？
• RQ5 将 ∥G∥ 基础的界推广至混合态鉴别时存在哪些局限性？在何种情况下会失效？

主要发现

• 对于任意 n 个成对保真度 ≤ 1−ε 的混合态，PGM 可在使用 O(log(n/δ)/ε) 个副本的情况下解决最坏情况下的态鉴别问题，失败概率为 δ。
• 对于纯态，对单个副本应用 PGM 的成功概率至少为 ∥G∥^{-1}，其中 G 为态的格拉姆矩阵。
• 当所有纯态的两两内积 ≤ 1−ε 时，可通过将 PGM 与验证结合，使用 Õ(∥G∥/ε) 个副本和失败概率 δ 解决该问题。
• 当 n = O(d) 时，随机纯态在 d 维空间中 ∥G∥ = O(1) 的概率很高，意味着此类情况下副本复杂度为常数。
• 当 ∥G∥ 较小时，PGM 无法为混合态提供有用界，如 n 个最大混合态的反例所示：此时 ∥G∥ = 1 但成功概率为 1/n。
• 对于具有常数成对内积 c 的等角态，∥G∥ = 1 + c(n−1) 给出 Õ(n) 个副本，但更精细的分析表明仅需 O(1) 个副本，说明该界并非总是紧致。