[论文解读] Prevalence of non-uniform hyperbolicity at the first bifurcation of Hénon-like families

Hiroki Takahasi|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 31被引用 6

一句话总结

该论文证明，对于强耗散的Hénon型映射，在首个破坏均匀双曲性的分岔参数 $a^*$ 处（此时均匀双曲性因内部切线而被破坏），勒贝格几乎处处的初始点会发散至无穷远，且在 $a^*$ 附近的参数中，所有不变的遍历Borel概率测度的李雅普诺夫指数均被一致地远离零。该结果证实了在这一临界分岔点，非一致双曲性具有普遍性。

ABSTRACT

We consider the dynamics of strongly dissipative Hénon-like maps in the plane, around the first bifurcation parameter $a^*$ at which the uniform hyperbolicity is destroyed by the formation of homoclinic or heteroclinic tangencies inside the limit set. In [Takahasi H.: Commun. Math. Phys. {\bf 312} 37-85 (2012)], it was proved that $a^*$ is a full Lebesgue density point of the set of parameters for which Lebesgue almost every initial point diverges to infinity under forward iteration. For these parameters, we show that all Lyapunov exponents of all invariant ergodic Borel probability measures are uniformly bounded away from zero, uniformly over all the parameters.

研究动机与目标

• 研究强耗散Hénon型映射在首个分岔点处非一致双曲性的普遍性。
• 分析在参数 $a^*$ 附近的动力学行为，此时均匀双曲性因稳定与不稳定流形之间的内部同宿或异宿切线而被破坏。
• 证明对于 $a^*$ 附近勒贝格几乎处处的参数，初始点在正向迭代下发散至无穷远，且所有不变的遍历测度的李雅普诺夫指数在参数附近被一致地远离零。
• 建立双曲性丧失是通过内部切线实现的，因此标准的叶状结构方法不再适用，从而需要新的技术手段。

提出的方法

• 分析由 $f_a(x,y) = (1 - a x^2, 0) + b \cdot \Phi(a,b,x,y)$ 定义的Hénon型映射 $f_a$，其中 $0 < b \ll 1$。
• 聚焦于首个分岔参数 $a^*$，此时不动点的稳定与不稳定流形之间形成二次切线，导致均匀双曲性被破坏。
• 通过将轨道分解为区间 $n_k < n < n_k + p_k$ 来分析不稳定丛在迭代下的增长。
• 对奇异值 $s(E^u)$ 进行估计，并利用映射的均匀压缩/扩张性质来控制李雅普诺夫指数。
• 应用奥斯莱德乘法遍历定理，将不稳定丛的增长与李雅普诺夫指数联系起来。
• 通过迭代估计和雅可比行列式的一致有界性，建立不稳定子空间上导数范数的统一下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在强耗散Hénon型族的首个分岔点，当均匀双曲性因内部切线而被破坏时，非一致双曲性是否具有普遍性？
• RQ2 在分岔参数 $a^*$ 附近，不变遍历测度的李雅普诺夫指数表现出何种行为？
• RQ3 能否在 $a^*$ 附近的参数上一致地建立李雅普诺夫指数的统一下界？
• RQ4 切线的内部性质（即切线轨道位于极限集中）如何影响动力学行为以及标准分岔技术的适用性？

主要发现

• 当 $b>0$ 足够小时，$a^*$ 是参数集合中勒贝格密度为1的点，使得在正向迭代下，勒贝格几乎处处的初始点发散至无穷远。
• 所有不变的遍历Borel概率测度的所有李雅普诺夫指数在 $a^*$ 附近的参数中均被一致地远离零。
• 当 $\varepsilon>0$ 足够小时，集合 $\Omega_{a^*}(\varepsilon)$ 是双曲的，这通过在不稳定丛上对导数奇异值的统一控制得以证明。
• 切线的轨道唯一且包含在极限集中，表明这是内部切线分岔，从而使得标准的叶状结构方法失效。
• 不稳定丛的增长在 $n$ 足够大时，被统一地由指数率 $\lambda^n$ 下方控制，其中 $\lambda>1$，且对所有 $x \in \Omega_{a^*}(\varepsilon)$ 成立。
• 证明依赖于构造返回时间序列 $n_k$，并利用在返回临界区域 $I(\delta)$ 前的迭代次数 $p_k$ 的一致有界性，确保不稳定范数的指数增长。