[论文解读] Pricing Financial Derivatives using Radial Basis Function generated Finite Differences with Polyharmonic Splines on Smoothly Varying Node Layouts

Slobodan Milovanović|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2018

Stochastic processes and financial applications被引用 4

一句话总结

本文提出了一种改进的径向基函数生成有限差分（RBF-FD）方法，用于在Black–Scholes–Merton模型下定价两资产组合期权，以及在Heston模型下定价欧式期权，采用多调和样条（PHSs）和光滑变化的节点布局。通过消除形状参数并利用密度自适应的节点布局提升稳定性，该方法在定价过程中实现了更优的收敛性、精度和条件性，对美式期权也表现出优异性能。

ABSTRACT

In this paper, we study the benefits of using polyharmonic splines and node layouts with smoothly varying density for developing robust and efficient radial basis function generated finite difference (RBF-FD) methods for pricing of financial derivatives. We present a significantly improved RBF-FD scheme and successfully apply it to two types of multidimensional partial differential equations in finance: a two-asset European call basket option under the Black--Scholes--Merton model, and a European call option under the Heston model. We also show that the performance of the improved method is equally high when it comes to pricing American options. By studying convergence, computational performance, and conditioning of the discrete systems, we show the superiority of the introduced approaches over previously used versions of the RBF-FD method in financial applications.

研究动机与目标

• 通过在RBF-FD方法中采用多调和样条消除形状参数，解决金融PDE中方法的不稳定性与敏感性问题。
• 通过使用具有平滑变化密度的节点布局，改善数值条件性和收敛性。
• 开发一种鲁棒、高阶、无网格的方法，用于在Heston等复杂模型下进行多维期权定价。
• 在欧式和美式期权（包括高维问题）上验证该方法的有效性。
• 提供一种可扩展、可并行化的框架，尽管存在计算开销，其性能仍优于标准有限差分方法。

提出的方法

• 使用多调和样条（PHSs）作为径向基函数，消除形状参数需求，稳定离散格式。
• 采用局部化RBF-FD方法，使用紧凑型离散模板，确保稀疏的微分矩阵和计算效率。
• 应用一种节点布局算法，根据问题特征（如接近行权价或波动率边界）自适应地聚集节点，使用平滑的密度函数进行控制。
• 通过在每个模板上进行局部配点，求解小型线性系统，构造微分算子的权重。
• 在RBF逼近中引入多项式增强，以控制形式收敛阶并提升精度。
• 通过近场和远场节点的组合实现边界条件处理，对不连续的终端条件进行特殊处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 多调和样条能否在金融PDE的RBF-FD方法中消除形状参数调优的需要？
• RQ2 平滑变化的节点布局在期权定价中如何改善RBF-FD格式的条件性和收敛性？
• RQ3 所提出的RBF-FD方法在涉及线性互补问题的美式期权中是否仍能保持高精度与稳定性？
• RQ4 在Heston模型和多资产组合模型下，该方法与标准有限差分格式相比，在性能和精度上表现如何？
• RQ5 尽管计算微分权重存在成本，该方法是否能在并行架构上实现有效扩展？

主要发现

• 采用多调和样条的RBF-FD方法无需形状参数选择即可实现稳定且精确的结果，显著提升了鲁棒性。
• 平滑变化的节点布局显著降低了微分矩阵的条件数，Heston模型下从笛卡尔布局的10^7降至平滑布局的10^4。
• 该方法实现了最优收敛速率，误差随N ≈ 1000个节点呈O(1/√N)下降，且在精度和速度上均优于笛卡尔和自适应布局。
• 平滑节点布局使方法在Heston算子下仍能稳定计算，而为组合期权设计的自适应布局因密度变化不平滑而失效。
• 计算性能优于标准有限差分方法，且在多核系统上优势更明显，得益于权重计算的可并行性。
• 该方法成功对美式看跌组合期权进行定价，精度和效率与欧式期权相当，展现出广泛适用性。