[论文解读] Pricing, Hedging and Optimally Designing Derivatives Via Minimization of Risk Measures

Pauline Barrieu, Nicole El Karoui|London School of Economics and Political Science Research Online (London School of Economics and Political Science)|Aug 7, 2007

Risk and Portfolio Optimization参考文献 6被引用 123

一句话总结

本文提出了一套框架，通过最小化凸风险度量来实现衍生品的定价、对冲以及最优设计，将优化方法从效用最大化转变为基于风险的优化。研究证明，在不完全市场中，尤其是存在非交易风险时，代理之间的最优风险转移可通过凸风险度量的下确界卷积求解，且在扩张或正则化条件下可获得显式解。

ABSTRACT

The question of pricing and hedging a given contingent claim has a unique solution in a complete market framework. When some incompleteness is introduced, the problem becomes however more difficult. Several approaches have been adopted in the literature to provide a satisfactory answer to this problem, for a particular choice criterion. In this paper, in order to price and hedge a non-tradable contingent claim, we first start with a (standard) utility maximization problem and end up with an equivalent risk measure minimization. This hedging problem can be seen as a particular case of a more general situation of risk transfer between different agents, one of them consisting of the financial market. In order to provide constructive answers to this general optimal risk transfer problem, both static and dynamic approaches are considered. When considering a dynamic framework, our main purpose is to find a trade-off between static and very abstract risk measures as we are more interested in tractability issues and interpretations of the dynamic risk measures we obtain rather than the ultimate general results. Therefore, after introducing a general axiomatic approach to dynamic risk measures, we relate the dynamic version of convex risk measures to BSDEs.

研究动机与目标

• 解决传统无套利定价在不完全市场中失效时，对或有头寸进行定价与对冲的挑战。
• 将基于指数效用的无差异定价重新表述为凸风险度量框架，同时保持现金平移不变性和凸性等关键经济特性。
• 通过将问题简化为凸风险度量的下确界卷积，提出一种代理之间（包括金融市场与保险公司）最优风险转移的一般性方法。
• 利用BSDEs和正则化技术，为静态与动态对冲问题提供可构造的解法。
• 通过将动态凸风险度量与倒向随机微分方程（BSDEs）关联，确保可计算性与可解释性。

提出的方法

• 利用确定等价作为凸泛函，将基于效用的无差异定价问题转化为风险度量最小化框架。
• 应用下确界卷积运算来建模两个代理之间的最优风险转移，将问题简化为最小化两者风险度量之和。
• 通过凸函数的扩张实现精确的下确界卷积解，无需额外约束。
• 采用Moreau-Yosida正则化及通过二次和线性核进行的下确界卷积，以确保可微性与稳定性。
• 将动态凸风险度量与倒向随机微分方程（BSDEs）的解关联，实现时间一致的风险评估。
• 利用次微分微积分刻画最优解，尤其在两个函数的次微分在某点相交时。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将不完全市场中的无差异定价重新表述为基于凸风险度量而非效用最大化的形式？
• RQ2 在两个代理具有非交易风险时，确保其最优风险转移存在且唯一的条件是什么？
• RQ3 在何种情况下，两个凸风险度量的下确界卷积可产生精确解，且如何显式计算？
• RQ4 如何构建动态风险度量并将其与BSDEs关联，以确保时间一致性与可计算性？
• RQ5 Moreau-Yosida等正则化技术在确保风险最小化问题中的可微性与数值稳定性方面发挥何种作用？

主要发现

• 由指数效用导出的确定等价是一个满足现金平移不变性的凸风险度量，因此适用于推广至更广泛的风险度量类别。
• 当两个风险度量均从同一基函数扩张而来时，其下确界卷积是精确的，并产生闭式解：$ g^A \square g^B = g_{\gamma_A + \gamma_B} $。
• 当下确界卷积问题的解存在时，若一个函数有下界，另一个函数满足其渐近函数相关的资格条件，则解存在。
• 当下确界卷积在零点精确时，若两个函数在零点的次微分相交，则结果为中心化；若两个函数均为中心化，则结果亦为中心化。
• Moreau-Yosida正则化确保了风险度量的可微性，其梯度为 $ \nabla g_{[k]} = k(z - J_k(z)) $，且预解算子 $ J_k(z) $ 是1-Lipschitz的。
• 通过 $ b_k(z) = k|z| $ 进行Lipschitz正则化，可得到一个凸的Lipschitz连续函数，且在定义域的内点上一致收敛于原函数。