[论文解读] Pricing of average strike Asian call option using numerical PDE methods

Abhishek Kumar, Ashwin Waikos+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的数值PDE方法来定价算术平均敲出价亚式看涨期权，采用Crank-Nicolson隐式方法和高阶紧凑有限差分格式。结果表明，两种PDE方法计算出的期权价格与蒙特卡洛模拟结果高度一致，其中高阶紧凑格式在低波动率水平下表现出更优的精度，这是首次已知将PDE方法应用于平均敲出价亚式期权的研究。

ABSTRACT

In this paper, a standard PDE for the pricing of arithmetic average strike Asian call option is presented. A Crank-Nicolson Implicit Method and a Higher Order Compact finite difference scheme for this pricing problem is derived. Both these schemes were implemented for various values of risk free rate and volatility. The option prices for the same set of values of risk free rate and volatility was also computed using Monte Carlo simulation. The comparative results of the two numerical PDE methods shows close match with the Monte Carlo results, with the Higher Order Compact scheme exhibiting a better match. To the best of our knowledge, this is the first work to use the numerical PDE approach for pricing Asian call options with average strike.

研究动机与目标

• 开发并实现数值PDE方法以定价算术平均敲出价亚式看涨期权，这是一类路径依赖型奇异期权。
• 通过引入基于PDE的替代方法，克服蒙特卡洛模拟存在的计算限制和不确定性。
• 评估两种数值格式——Crank-Nicolson隐式格式和高阶紧凑格式——相对于基准蒙特卡洛模拟的性能与精度。
• 证明数值PDE方法可有效应用于平均敲出价亚式期权，这一领域此前主要由蒙特卡洛方法主导。

提出的方法

• 本文推导了以比率变量 $ R(t) = \frac{1}{S(t)} \int_0^t S(u) du $ 表示的期权价格的向后PDE，将三维问题简化为关于 $ R $ 的一维PDE。
• 变换后的PDE为 $ \frac{\partial H}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 R^2 \frac{\partial^2 H}{\partial R^2} + (1 - rR) \frac{\partial H}{\partial R} = 0 $，并附有适当的终值和边界条件。
• 实现了Crank-Nicolson隐式方法（二阶精度）和高阶紧凑有限差分格式（四阶精度）以数值求解PDE。
• 在均匀网格上计算解 $ H(R, t) $，期权价格通过 $ V(S(0), R(0), 0) = S(0) H(R(0), 0) $ 恢复。
• 使用50,000条路径的蒙特卡洛模拟作为验证基准，计算平均贴现收益。
• 性能评估基于精度（与蒙特卡洛结果对比）和计算效率（CPU时间）。

实验结果

研究问题

• RQ1 数值PDE方法能否有效应用于定价平均敲出价亚式看涨期权，这是一类路径依赖型奇异期权？
• RQ2 Crank-Nicolson隐式方法与高阶紧凑格式在该定价问题中的精度与效率如何比较？
• RQ3 在不同无风险利率和波动率下，基于PDE的结果与基准蒙特卡洛模拟结果的一致性程度如何？
• RQ4 高阶紧凑格式在平均敲出价亚式期权的定价中是否显著优于二阶Crank-Nicolson方法？

主要发现

• Crank-Nicolson隐式方法计算出的期权价格与蒙特卡洛结果高度一致，CPU时间低于0.5秒，显著快于蒙特卡洛模拟的4秒以上。
• 高阶紧凑格式与蒙特卡洛结果的一致性优于Crank-Nicolson方法，尤其在低波动率水平下（例如 σ = 0.05）。
• 在所有测试的 r = 0.06, 0.1, 0.2 和 σ = 0.05, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 组合下，PDE方法与蒙特卡洛基准结果表现出强一致性。
• 高阶紧凑格式实现了四阶空间精度，因此比二阶Crank-Nicolson方法提供了更精确的期权价格估计。
• 两种PDE格式的计算成本远低于蒙特卡洛方法，CPU时间始终低于0.5秒，而蒙特卡洛方法超过4秒。
• 据作者所知，这是首次将数值PDE方法应用于平均敲出价亚式看涨期权，为该类奇异期权建立了新的基准。