[论文解读] Pricing options with VG model using FFT

Andrey Itkin|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2005

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用 15

一句话总结

本文评估了在方差伽马（Variance Gamma, VG）模型下定价欧式期权的数值方法，发现广泛使用的Carr-Madan FFT方法在某些参数取值下可能失效。本文提出并验证了两种稳健的替代方法——Lewis的正则化方法和一种基于Black-Scholes的改进方法，这两种方法在所有VG参数下均保持高精度与收敛性，性能与FFT相当，且无发散问题。

ABSTRACT

We discuss various analytic and numerical methods that have been used to get option prices within a framework of the VG model. We show that some popular methods, for instance, Carr-Madan's FFT method could blow up for certain values of the model parameters even for an European vanilla option. Alternative methods - one originally proposed by Lewis, and Black-Scholes-wise method are considered that seem to work fine for any value of the VG parameters. Test examples are given to demonstrate efficiency of these methods. Convergency of all methods is also discussed.}

研究动机与目标

• 研究在方差伽马（Variance Gamma, VG）模型下，欧式期权定价数值方法的可靠性与收敛性。
• 识别Carr-Madan FFT方法在特定VG参数设置下，即使对于标准欧式期权，也可能出现失效的情况。
• 评估替代方法——Lewis的正则化方法与基于Black-Scholes的改进方法——在所有参数区域中保持稳定与高精度的能力。
• 通过测试案例比较所有方法的收敛性行为、计算效率与数值鲁棒性。
• 基于实证性能与稳定性，为VG框架下的稳健期权定价提供实用建议。

提出的方法

• 利用时间改变的布朗运动推导VG过程的特征函数，以支持基于傅里叶变换的期权定价方法。
• 应用Carr-Madan FFT方法，对折价后的看涨期权价格进行傅里叶逆变换，利用快速傅里叶变换提升计算效率。
• 实现Lewis的正则化方法，该方法通过引入复数平移的特征函数积分表达式，改善收敛性。
• 提出一种基于Black-Scholes的改进方法，通过解析地减去VG期权价格中的Black-Scholes部分，降低FFT误差。
• 使用数值积分与FFT，结合不同网格大小（N = 256 至 8192），评估各方法的收敛性与误差行为。
• 通过标准测试案例比较不同VG参数（σ, ν, θ）与到期期限（T）下各方法的计算时间与精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Carr-Madan FFT方法在VG模型下定价欧式期权时会失效？
• RQ2 Lewis正则化方法与基于Black-Scholes的改进方法在不同VG参数集合下的收敛速率与数值稳定性，与FFT方法相比如何？
• RQ3 基于Black-Scholes的改进方法能否在避免发散问题的同时，实现与FFT相当的精度与性能？
• RQ4 Lewis方法中的复数平移参数μ₁对收敛性与截断误差有何影响？
• RQ5 三种方法的计算时间如何随行权价数量与模型参数的变化而变化？

主要发现

• Carr-Madan FFT方法在某些VG参数取值下可能发生发散，即使对于标准欧式期权，这也是由于特征函数反演过程的不稳定性所致。
• Lewis正则化方法与基于Black-Scholes的改进方法在所有测试的VG参数下均表现出稳定收敛，未观察到发散现象。
• 基于Black-Scholes的改进方法通过用精确解析解替换FFT中的主导项，有效降低了FFT误差，提升了精度。
• Lewis方法与基于Black-Scholes的改进方法的收敛行为相近；而Carr-Madan方法在低网格数（如N=256）下，对虚值期权收敛更快。
• 计算时间方面，Lewis方法与Carr-Madan方法相当（0.031–0.047秒），而基于Black-Scholes的改进方法约慢两倍（0.062–0.078秒），但仍具高效性。
• Lewis方法的性能对μ₁的选择极为敏感；参数选择不当将导致较大的截断误差或离散化误差，需根据参数进行调优。