[论文解读] Pricing path-dependent Bermudan options using Wiener chaos expansion: an embarrassingly parallel approach

Jérôme Lelong|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2019

Stochastic processes and financial applications被引用 6

一句话总结

本文提出了一种新颖的、极易并行化的算法，用于使用维纳混沌展开（WCE）替代策略迭代中的传统最小二乘回归，以定价路径依赖型美式期权。通过利用独立的蒙特卡洛采样计算的WCE系数，将条件期望表示为$L^2$-正交投影，该方法避开了马氏性假设，实现了高度可扩展、通信开销极低的并行化，在256个核心上实现了76%的并行效率，并在超级计算机上实现了32倍的加速。

ABSTRACT

In this work, we propose a new policy iteration algorithm for pricing Bermudan options when the payoff process cannot be written as a function of a lifted Markov process. Our approach is based on a modification of the well-known Longstaff Schwartz algorithm, in which we basically replace the standard least square regression by a Wiener chaos expansion. Not only does it allow us to deal with a non Markovian setting, but it also breaks the bottleneck induced by the least square regression as the coefficients of the chaos expansion are given by scalar products on the L^2 space and can therefore be approximated by independent Monte Carlo computations. This key feature enables us to provide an embarrassingly parallel algorithm.

研究动机与目标

• 解决在收益过程为非马氏性时，路径依赖型美式期权定价中的计算瓶颈。
• 克服标准最小二乘回归在Longstaff-Schwartz算法中的局限性，后者在维度增加时扩展性差且缺乏并行效率。
• 开发一种通用的、黑箱式的期权定价框架，通过利用维纳混沌展开，使路径依赖型期权的处理方式与欧式期权类似。
• 通过解耦独立蒙特卡洛路径上WCE系数的估计，实现高度高效、极易并行的计算。
• 在真实模型（如Heston模型和移动平均期权）上展示强可扩展性和准确性，结合高性能计算。

提出的方法

• 在策略迭代中，用维纳混沌展开（WCE）替代标准最小二乘回归，以近似条件期望$\mathbb{E}[U_{T_{k+1}} \mid \mathcal{F}_{T_k}}]$。
• 将条件期望表示为赫米特多项式有限维空间上的投影，其中系数计算为$\widehat{\lambda}^M_k = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^M U^{(i)}_{T_{k+1}} \cdot H_k(\xi^{(i)})$，其中$\xi^{(i)}$为标准正态变数。
• 利用赫米特多项式的$L^2$-正交性，实现蒙特卡洛路径间系数的独立计算，从而支持极易并行的实现。
• 采用两阶段并行策略：每个计算节点采样路径并计算本地WCE系数，随后进行全局归约（all-reduce）以聚合系数并广播至所有节点。
• 将基于WCE的条件期望集成到策略迭代循环中，使用近似化的继续价值在每个行权日更新最优停止规则。
• 通过使用足够的蒙特卡洛样本数（$M = 10^6$或$10^7$）确保数值稳定性，以减少系数估计方差带来的偏差。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非马氏性环境下，维纳混沌展开能否用于替代策略迭代中用于美式期权定价的最小二乘回归？
• RQ2 赫米特多项式的正交性是否能支持在高维或路径依赖型期权定价中，计算条件期望的极易并行算法？
• RQ3 当应用于移动平均期权或Heston模型等路径依赖型期权时，该方法在计算效率和加速比方面表现如何？
• RQ4 与标准Longstaff-Schwartz方法相比，蒙特卡洛样本数对基于WCE的定价算法偏差和精度有何影响？
• RQ5 能否通过引入切比谢夫多项式将基于WCE的方法扩展至Lévy过程，并在并行可扩展性方面与现有方法进行比较？

主要发现

• 所提出的基于WCE的策略迭代算法在256个核心上实现了32倍的加速，计算时间从串行的1.5小时缩短至24秒，平行效率达到76%。
• 在512个核心上，该算法仍保持高达0.86的效率，表明其在拥有3204个核心的超级计算机上具有强可扩展性。
• 在Heston模型下，对于移动平均收益的期权，WCE方法在$M = 10^7$样本和$p = 3$时得到价格1.72274，与使用$10^6$样本和三次多项式的Longstaff-Schwartz方法结果相差小于1%。
• 使用$M = 10^5$样本导致价格略高，证实了WCE系数估计中的方差会引入系统性偏差。
• 该方法对路径依赖具有鲁棒性：在无需马氏性提升的情况下，成功定价了收益依赖于整个路径历史的期权（如移动平均期权）。
• 该算法具有通用性，可作为黑箱实现：仅需标准布朗运动路径和对应的收益样本，与欧式期权定价类似。