[论文解读] Pricing Query Complexity of Multiplicative Revenue Approximation

Wei Tang, Yifan Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2026

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一句话总结

本文研究在未知估值分布且具有尺度提示（单样本或值范围）的情况下，为单买家实现乘法型收入近似所需的定价查询复杂性。对常规分布、MHR与一般分布给出近乎紧致的上下界。

ABSTRACT

We study the pricing query complexity of revenue maximization for a single buyer whose private valuation is drawn from an unknown distribution. In this setting, the seller must learn the optimal monopoly price by posting prices and observing only binary purchase decisions, rather than the realized valuations. Prior work has established tight query complexity bounds for learning a near-optimal price with additive error $\varepsilon$ when the valuation distribution is supported on $[0,1]$. However, our understanding of how to learn a near-optimal price that achieves at least a $(1-\varepsilon)$ fraction of the optimal revenue remains limited. In this paper, we study the pricing query complexity of the single-buyer revenue maximization problem under such multiplicative error guarantees in several settings. Observe that when pricing queries are the only source of information about the buyer's distribution, no algorithm can achieve a non-trivial approximation, since the scale of the distribution cannot be learned from pricing queries alone. Motivated by this fundamental impossibility, we consider two natural and well-motivated models that provide "scale hints": (i) a one-sample hint, in which the algorithm observes a single realized valuation before making pricing queries; and (ii) a value-range hint, in which the valuation support is known to lie within $[1, H]$. For each type of hint, we establish pricing query complexity guarantees that are tight up to polylogarithmic factors for several classes of distributions, including monotone hazard rate (MHR) distributions, regular distributions, and general distributions.

研究动机与目标

• 在乘法型收入保证下，动机化并形式化定价查询复杂性问题。
• 引入尺度提示模型（单样本和值范围）以在缺少尺度信息时克服不可能性结果。
• 在两种提示设置下，推导对常规、MHR和一般分布的（近似）紧上/下界。
• 开发可同时适用于常规和MHR分布的统一学习算法。
• 分析单样本或已知值区间如何影响查询复杂性及可实现的收入保证。

提出的方法

• 将卖家-买家交互建模为定价并观察来自未知F的独立同分布估值的二元购买决策。
• 定义收入 RevF(p)=p(1−F(p))，并以相对于 Rev(p^opt) 的乘法近似进行优化。
• 提出算法1—a unified learning procedure，利用常规（及MHR）分布的收益曲线半凹性/单峰性。
• 在几何价格网格上采用三元搜索式方法，并以获胜概率下界γ来裁剪低销售区域。
• 给出一般的查询复杂度界限 O(γ^{−1} ε^{−2} log(1/δ) log^4(r/(εℓ)))，并针对不同分布类别和提示模型进行细化。
• 引入一种归约：从单样本对常规分布定位搜索区间，以保证 (1−ε) 近似（引理4.3）。
• 并显示对于一般分布，单样本提示不足，因此聚焦于值范围提示并给出紧致界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在未知估值分布下，达到 (1−ε) 乘法收入近似需要的定价查询复杂性是多少？
• RQ2 尺度提示（单样本与值范围）如何影响常规、单调危险率MHR及一般分布的查询复杂性？
• RQ3 是否存在一个统一算法在这些提示下高效地同时处理常规和MHR分布？
• RQ4 在常规分布下，单样本提示与值范围提示在可达到的近似和查询复杂性方面有何差异？
• RQ5 在乘法型收入设定中，缺乏尺度信息的基本不可能性结果是什么？

主要发现

• 在值范围提示下，常规分布的近 Tight 上界为 Õ(ε^{−2} H) 查询并且 Ω(ε^{−2} H) 的下界。
• 在单样本提示下，常规分布需要 Õ(ε^{−3}) 查询并且 Ω(ε^{−3}) 下界，与基于样本访问的基线在多项对数因子下匹配。
• 对于MHR分布，值范围和单样本提示均给出 Õ(ε^{−2}) 查询及相应的 Ω(ε^{−2}) 下界。
• 对于一般分布，值范围提示给出 Õ(ε^{−3} H) 查询和 Ω(ε^{−3} H) 下界，而单样本提示不足以解决尺度问题。
• 本文给出一个统一算法（算法1），在对常规和MHR类都适用的情况下，通过多对数因子开销和 γ 可胜性裁剪步骤实现接近最优的收入。
• 一个关键技术贡献是一个归约，将单样本提示转化为保留乘法收入保证的搜索区间定位（引理4.3）。