[论文解读] Pricing variance swaps under Levy process with stochastic volatility and CIR interest rate
本文提出了一种在结合Heston随机波动率、CIR随机利率和Lévy跳跃的混合金融模型下，方差互换的闭式定价模型。通过转换到远期测度并利用仿射结构与鞅性质，推导出公平交割价格，表明跳跃风险显著提高了互换价值，且随机利率在定价中也发挥着实质性作用。
This study focuses on the pricing of the variance swap in the financial market where the stochastic interest rate and the volatility of the stock are driven by Cox-Ingersoll-Ross model and Heston model with simultaneous L\'{e}vy jumps, respectively. After transforming the physical probability measure to the forward measure, we obtain a closed-form solution of the related moment-generating function having the martingale property and the affine structure. Moreover, we get the fair delivery price of the variance swap via the derivation of the moment-generating function under some mild conditions. Finally, some numerical examples are given to show that the values of variance swaps not only depend on the stochastic interest rates but also are higher in the presence of jump risks.
研究动机与目标
- 开发一种在具有随机波动率、随机利率和跳跃风险的市场中，对方差互换进行可处理定价的框架。
- 在统一的Lévy驱动框架内，整合Heston随机波动率模型与CIR随机利率模型。
- 在远期测度下，推导出实现方差的矩母函数的闭式解，以实现公平价值的计算。
- 研究跳跃风险与随机利率对方差互换定价的影响。
- 提供数值证据，表明方差互换价值对模型各组成部分（如跳跃与随机利率）的敏感性。
提出的方法
- 将物理概率测度转换为远期测度，以简化方差互换收益的动态特性。
- 利用底层随机过程的仿射结构，推导实现方差的矩母函数。
- 确保在远期测度下，矩母函数满足鞅性质，以实现风险中性定价。
- 应用仿射变换方法，求解Heston波动率与CIR利率联合动态下的特征函数。
- 在较弱的正则性条件下，通过远期测度下的矩母函数推导出方差互换的公平交割价格。
- 将Lévy跳跃引入波动率与利率过程，以反映市场中的突发波动。
实验结果
研究问题
- RQ1在波动率与利率过程均引入Lévy跳跃时，对方差互换定价有何影响？
- RQ2在具有Heston波动率与CIR利率的混合模型下，能否推导出实现方差矩母函数的闭式解？
- RQ3随机利率在多大程度上影响方差互换的公平交割价格？
- RQ4与纯扩散模型相比，跳跃风险如何改变方差互换价值的大小与风险溢价？
- RQ5仿射结构与远期测度变换对方差互换定价在多因子设定下的可处理性有何影响？
主要发现
- 在远期测度下，利用仿射动态与鞅条件，实现了实现方差矩母函数的闭式推导。
- 在较弱的技术条件下，通过推导出的矩母函数，明确获得了方差互换的公平交割价格。
- 数值结果证实，存在跳跃风险时，方差互换价值更高，表明存在显著的跳跃风险溢价。
- 通过CIR过程建模的随机利率对方差互换定价有不可忽视的影响，与假设利率恒定的模型相反。
- 该模型捕捉了随机波动率、随机利率与跳跃的联合效应，提供了一个更丰富且更现实的定价框架。
- 仿射结构与远期测度变换在保持跳跃聚集与均值回归等关键市场特征的同时，实现了分析上的可处理性。
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