[论文解读] Primal Topological Spaces

Santanu Acharjee, Murad Özkoç+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2022

Fuzzy and Soft Set Theory被引用 9

一句话总结

本文引入了拓扑学中与grill对偶的'primal'结构，提出一种新的拓扑——'primal拓扑'，该拓扑满足Kuratowski的闭包公理。证明了primal拓扑比原拓扑更精细，并为新拓扑提供了基结构，为这一新颖的拓扑框架奠定了基础，具有在量子启发及不确定拓扑行为中应用的潜力。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to introduce a new structure `primal'. Primal is dual to grill. Like ideal, dual of filter, this new structure also generates a new topology named `primal topology'. We introduce a new operator using primal, which satisfies Kuratowski's closure axioms. Mainly, we prove that primal topology is finer than the topology of a primal topological space. We provide structure of base of primal topology and prove other fundamental results related to this new structure.

研究动机与目标

• 引入一种新的拓扑结构'primal'，作为grill的对偶，扩展拓扑学中对偶性的概念。
• 通过primal结构定义一种新拓扑，称为'primal拓扑'，并证明其满足Kuratowski的闭包公理。
• 证明primal拓扑严格细于原始拓扑空间的原拓扑。
• 刻画primal拓扑的基，并推导其基本的拓扑性质。
• 探索与量子行为及不确定拓扑结构的潜在联系，受量子拓扑和非经典逻辑的启发。

提出的方法

• 在非空集合X上定义primal为一族P ⊆ 2^X，满足：(i) X ∉ P，(ii) 对子集向下封闭，(iii) 对有限交封闭。
• 通过补集运算建立grill与primal之间的对偶关系：若G是grill，则{A | A^c ∈ G}是primal。
• 引入闭包算子(·)^♦，定义为A^♦ = A ∪ {x ∈ X | ∀U ∈ τ(x), U^c ∪ A ∉ P}，该算子满足Kuratowski的闭包公理。
• 将primal拓扑τ^♦定义为所有满足A^c ∪ (A^c)^♦ = A^c的集合A的族，即A^c关于(·)^♦是闭的。
• 证明τ ⊆ τ^♦，表明primal拓扑比原拓扑更精细。
• 构造τ^♦的基为B_P = {T ∩ P | T ∈ τ, P ∉ P}，并证明其生成τ^♦。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在拓扑学中系统地定义grill的对偶结构，其与经典拓扑构造的关系如何？
• RQ2 新的primal结构是否能生成满足Kuratowski闭包公理的拓扑？
• RQ3 primal拓扑是否严格细于空间的原拓扑？
• RQ4 primal拓扑的基结构是怎样的，如何用于刻画开集？
• RQ5 primal拓扑中是否存在非经典或类似量子的行为，例如拓扑性质不普遍成立？

主要发现

• primal拓扑τ^♦满足Kuratowski的闭包公理，确认其为合法拓扑。
• primal拓扑τ^♦严格细于原拓扑τ，即τ ⊆ τ^♦。
• τ^♦的基为B_P = {T ∩ P | T ∈ τ, P ∉ P}，该基可生成primal拓扑。
• 若P ⊆ Q为两个primal，则τ^♦_Q ⊆ τ^♦_P，表明更大的primal产生更粗的primal拓扑。
• primal的性质在连续像下不保持，如反例所示，表明其不具备拓扑不变性。
• 本文观察到primal结构中存在不确定和非经典行为，如示例3.6和3.7所示，提示其与量子拓扑可能存在潜在关联。