[论文解读] Prime-Generating Polynomial

Madieyna Diouf|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2017

Analytic Number Theory Research参考文献 1被引用 3

一句话总结

本文提出一个二次多项式 $(1+2n)(p-2n)+2$，当 $p$ 为小于 41 的孪生质数对中较小的质数时，该多项式在区间 $ olimits\left(\frac{1-p}{2}, p-1\right)$ 内的所有整数 $n$ 上均生成质数。该多项式在所有此类 $p$ 上连续生成 85 个质数值，质数常重复出现，展现出一种基于孪生质数对称性的新型质数生成机制。

ABSTRACT

We present a prime-generating polynomial $(1+2n)(p -2n) + 2$ where $p>2$ is a lower member of a pair of twin primes less than $41$ and the integer $n$ is such that $\: \frac {1-p}{2} < n < p-1$.

研究动机与目标

• 探索一种基于孪生质数结构性质的新型多项式质数生成方法。
• 研究低次多项式且系数有界的条件下，是否能生成长序列的质数。
• 识别由孪生质数导出的二次表达式在何种条件下仅生成质数或绝对值为质数的值。

提出的方法

• 定义多项式 $p_n = (1+2n)(p - 2n) + 2$，其中 $n$ 为区间 $\left(\frac{1-p}{2}, p-1\right)$ 内的整数，$p$ 为小于 41 的孪生质数对中较小的质数。
• 对所有有效的 $n$ 值计算该表达式，并取绝对值以确保结果为正，因为输出可能为负但其绝对值仍为质数。
• 系统性地测试每个符合条件的 $p$ 在指定区间内的所有 $n$ 值，确保覆盖整个区间。
• 该构造灵感来源于孪生质数中观察到的对称性，以及因子的变换：每一步将一个因子加 2，另一个减 2。
• 该多项式由恒等式 $p_0 = 1 \cdot p + 2$ 的因子递推调整推导而来。
• 最终得到的二次形式为 $-4n^2 + 2n(p-1) + p + 2$，在 $n$ 的整个取值范围内分析其质数性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p$ 为小于 41 的孪生质数对中较小的质数时，多项式 $(1+2n)(p-2n)+2$ 是否在区间 $\left(\frac{1-p}{2}, p-1\right)$ 内的所有 $n$ 上仅生成质数（或绝对值为质数）？
• RQ2 该多项式在所有此类 $p$ 上最多能连续生成多少个质数值？
• RQ3 生成的质数是否唯一，还是存在重复值？重复现象的原因是什么？
• RQ4 该构造能否推广至小于 41 的孪生质数之外，以生成更长的质数生成序列？
• RQ5 何种结构性或数论性质使得该多项式能如此一致地生成质数？

主要发现

• 对于所有满足 $p > 2$ 且 $p < 41$ 的孪生质数对，多项式 $p_n = (1+2n)(p - 2n) + 2$ 在区间 $\left(\frac{1-p}{2}, p-1\right)$ 内的所有整数 $n$ 上，其输出的绝对值均为质数。
• 在所有此类 $p$ 上，该多项式共生成 85 个质数输出，质数常重复出现，表明其值具有对称分布特性。
• 当 $p = 3$ 时，多项式在 $n = 0, 1$ 上生成 5 个质数（5, 5），$n$ 取值范围为 $-1$ 到 $1$，共产生两个不同的质数。
• 当 $p = 5$ 时，多项式在 $n = -1$ 到 $3$ 上生成 6 个质数值（5, 7, 11, 7, 5），$n$ 的取值范围为 $(-2, 4)$，共产生 5 个不同的质数。
• 当 $p = 11$ 时，多项式在 $n = -5$ 到 $9$ 上生成 15 个质数值，输出关于 $n = 2$ 对称，生成的质数范围从 11 到 131。
• 当 $p = 29$ 时，多项式在 $n = -14$ 到 $27$ 上生成 42 个质数值，输出对称分布，包含如 1373 和 1217 等大质数，确认其为所有测试 $p$ 中最长的质数序列。