[论文解读] Prime numbers with Beatty sequences

William D. Banks, Igor E. Shparlinski|ArXiv.org|Aug 7, 2007

Analytic Number Theory Research参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文建立了广义贝蒂序列 $ p = q\lfloor \alpha n + \beta \rfloor + a $ 中素数数量的渐近公式，其中 $ \alpha $ 为有限型正无理数，$ q $ 随 $ N $ 的幂次增长。利用指数和估计与不均匀度界，证明该计数渐近等价于 $ \frac{q}{\varphi(q)} \pi(N) $，将先前结果推广至更大的模数，并证实了朗关于形如 $ 2\lfloor \alpha n \rfloor + 1 $ 的素数的改进猜想。关键贡献在于，即使当 $ q $ 关于 $ N $ 多项式增长时，仍能获得非平凡误差项，且在 $ \alpha $ 满足丢番图条件时成立。

ABSTRACT

A study of certain Hamiltonian systems has lead Y. Long to conjecture the existence of infinitely many primes of the form $p=2[αn]+1$, where $10$ depends only on $α$. We also prove a similar result for primes $p=[αn+β]$ such that $p\equiv a\pmod q$.

研究动机与目标

• 建立形如 $ p = q\lfloor \alpha n + \beta \rfloor + a $ 的序列中素数数量的统一渐近估计，其中 $ \alpha $ 为有限型无理数且 $ q $ 随 $ N $ 增长。
• 将里本鲍姆关于贝蒂序列中素数的论证推广，允许 $ q $ 作为 $ N $ 的幂次增长，且在 $ \alpha $ 满足丢番图条件时成立。
• 分析此类素数在模 $ q $ 算术级数中的分布，特别是 $ (a,q) = (0,1) $ 和 $ (1,2) $ 的情形，对应朗猜想。
• 即使当 $ q $ 关于 $ N $ 多项式增长时，也通过指数和方法与不均匀度界推导出素数计数函数中的非平凡误差项。
• 将结果推广至贝蒂序列本身需位于模 $ q $ 固定算术级数的情形，证明类似的渐近公式。

提出的方法

• 使用涉及 von Mangoldt 函数 $ \Lambda(n) $ 的指数和估计，分析贝蒂序列中素数的分布。
• 应用无理数 $ \gamma $ 的分数部分 $ \{ \gamma m \} $ 的不均匀度界，特别利用 $ \alpha $ 的有限型条件来控制误差项。
• 采用恒等式 $ \psi_{\Delta}(x) = \sum_{k \in \mathbb{Z}} g_k e^{2\pi i k x} $，其中 $ g_k $ 为光滑三角多项式，以逼近区间的特征函数。
• 使用部分求和与 Siegel–Walfisz 定理估计算术级数上的和，尤其适用于小 $ q $。
• 应用 Korobov–Vinogradov 零点密度区域边界，以在特殊情形如 $ (a,q) = (0,1) $ 或 $ (1,2) $ 时获得更强的误差项。
• 通过 $ t = \lceil \alpha^{-1} \rceil $ 的变换，将 $ \alpha < 1 $ 的情形约化为 $ \alpha > 1 $ 的情形，确保对所有 $ \alpha > 0 $ 的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ q $ 随 $ N $ 增长时，对于有限型无理数 $ \alpha $，是否能对形如 $ p = q\lfloor \alpha n + \beta \rfloor + a $ 的素数数量进行渐近估计？
• RQ2 当 $ q $ 作为 $ N $ 的幂次增长时，此类素数在模 $ q $ 算术级数中的渐近密度是否仍与 $ \frac{q}{\varphi(q)} \pi(N) $ 成比例？
• RQ3 此类素数数量的渐近公式中，最佳可能的误差项是什么？其如何依赖于 $ \alpha $ 的丢番图性质？
• RQ4 相同方法能否用于计数满足 $ p = \lfloor \alpha n + \beta \rfloor $ 且 $ p \equiv a \pmod{q} $ 的素数？其对应的渐近公式为何？
• RQ5 当允许 $ q $ 增长时，素数计数函数中的误差项如何变化？能否通过黎曼 zeta 函数的深层零点区域改进误差项？

主要发现

• 对于 $ \alpha > 0 $ 的有限型无理数，存在 $ \kappa > 0 $，使得满足 $ n \leq N $、$ 0 \leq a < q \leq N^\kappa $、$ \gcd(a,q) = 1 $ 的素数 $ p = q\lfloor \alpha n + \beta \rfloor + a $ 的数量满足 $ \mathcal{N}_{\alpha,\beta;q,a}(N) = (1 + o(1)) \frac{q}{\varphi(q)} \pi(N) $，其中 $ o(1) $ 项仅依赖于 $ \alpha $ 和 $ \beta $。
• 当 $ q \leq (\log N)^B $（$ B > 0 $ 固定）时，和式 $ \sum_{n \leq N} \Lambda(q\lfloor \alpha n + \beta \rfloor + a) $ 的误差项为 $ O\left( N \exp(-C\sqrt{\log N}) \right) $，其中 $ C > 0 $ 依赖于 $ \alpha, \beta, B $。
• 对于特殊情形 $ (a,q) = (0,1) $ 和 $ (1,2) $，误差项改善为 $ O\left( N \exp(-c(\log N)^{3/5}(\log\log N)^{-1/5}) \right) $，与素数定理中最佳已知误差一致。
• 对于满足 $ \lfloor \alpha n + \beta \rfloor \equiv a \pmod{q} $ 且为素数的 $ n \leq N $ 的数量，存在类似的渐近公式：$ \sum_{\substack{n \leq N \\ \lfloor \alpha n + \beta \rfloor \equiv a \pmod{q}}} \Lambda(\lfloor \alpha n + \beta \rfloor) = \alpha^{-1} \sum_{\substack{m \leq \lfloor \alpha N + \beta \rfloor \\ m \equiv a \pmod{q}}} \Lambda(m) + O(N^{1-\kappa}) $，其中 $ \kappa > 0 $ 仅依赖于 $ \alpha $。
• 上述公式中的误差项在 $ q \leq (\log N)^B $ 时为 $ O(N \exp(-C\sqrt{\log N})) $，在 $ (a,q) = (0,1) $ 或 $ (1,2) $ 时为 $ O(N \exp(-c(\log N)^{3/5}(\log\log N)^{-1/5})) $。
• 结果在 $ a $ 和 $ q $ 上一致，且隐含常数仅依赖于 $ \alpha $ 和 $ \beta $，只要 $ q \leq N^\kappa $。