[论文解读] Prime-to-p étale covers of algebraic groups

Michel Brion, Tamás Szamuely|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文证明了，对于特征为 p ≥ 0 的代数闭域上的连通代数群，其任意素数于 p 的平展伽罗瓦覆叠均具有中心同态结构，从而证明了素数于 p 的基本群是交换群，且其上界为 Z_{(p')}^{2g+r}，其中 g 为该群的阿贝尔簇商的维数，r 为幂零根系的秩。该结果可推广至具有连通稳定子子群的齐性空间，且上界依赖于稳定子子群。

ABSTRACT

Let G be a connected algebraic group over an algebraically closed field of characteristic p (possibly 0), and X a variety on which G acts transitively with connected stabilizers. We show that any étale Galois cover of X of degree prime to p is also homogeneous, and that the maximal prime-to-p quotient of the étale fundamental group of X is commutative. We moreover obtain an explicit bound for the number of topological generators of the said quotient. When G is commutative, we also obtain a description of the prime-to-p torsion in the Brauer group of G.

研究动机与目标

• 将经典拓扑群结果推广至正特征下的代数群。
• 确定连通代数群的素数于 p 的平展基本群 π₁^{(p')} 的结构及其拓扑秩。
• 将平展覆叠理论推广至具有连通稳定子子群的齐性空间。
• 为研究交换代数群的 Picard 群与 Brauer 群提供基础工具。
• 根据几何不变量，精确给出 π₁^{(p')}(G) 的拓扑生成元数量的上界。

提出的方法

• 利用 Chevalley 的结构定理将 G 分解为阿贝尔簇 A 对线性群 G_aff 的扩张。
• 应用 Barsotti–Weil 公式，通过同态 c: X*(T) → Pic⁰(A) 分类 A 对环面 T 的扩张。
• 利用 μ_n-挠从丛在交换代数群上通过中心扩张的提升可赋予其交换群概形结构的事实。
• 通过同构 Pic(G) ≅ Pic(G/U) 将 Pic(G) 的计算约化至 Pic(A) 模去幂零根系。
• 利用 Néron–Severi 群与 ℓ-进上同调计算 Brauer 群中 ℓ-进 torsion 部分。
• 通过 Rosenlicht 引理与线丛幂的平凡化，初等构造 μ_n-挠从丛上的群结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征 p ≥ 0 的代数闭域上，连通代数群 G 的素数于 p 的平展基本群 π₁^{(p')}(G) 的结构是什么？
• RQ2 每个素数于 p 的平展伽罗瓦覆叠是否都能赋予中心同态结构，使其成为群同态？
• RQ3 π₁^{(p')}(G) 的拓扑秩如何依赖于 G 的几何不变量，如其阿贝尔簇商的维数与半单部分的秩？
• RQ4 对于具有连通稳定子子群的 G-齐性空间 X，π₁^{(p')}(X) 的结构是什么？
• RQ5 如何用其扭子群与几何不变量描述交换代数群的 Brauer 群？

主要发现

• 素数于 p 的基本群 π₁^{(p')}(G) 是交换群，且是 Z_{(p')}^{2g + r} 的商，其中 g = dim A，r = rank(G_aff)。
• 上界 2g + r 是精确的，当 G 为 g 维阿贝尔簇与 r 秩环面的直积时可达到。
• 对于具有连通稳定子子群 H 的齐性空间 X，π₁^{(p')}(X) 是 Z_{(p')}^{2(g - g_H) + (r - r_H)} 的商，其中 g_H 与 r_H 分别为稳定子子群 H 的维数与秩。
• Brauer 群 Br(G) 的 ℓ-进 torsion 部分同构于 (Q_ℓ/Z_ℓ)^{(2g + r)(2g + r - 1)/2 - ρ}，其中 ρ 为阿贝尔簇商 A 的 Néron–Severi 秩。
• 当 n 与特征互素时，精确序列 0 → Pic(G)/nPic(G) → Hom(Λ²(_nG), μ_n) → _nBr(G) → 0 成立，该结果将 Grothendieck 公式推广至交换代数群。
• μ_n-挠从丛上的群结构源于通过线丛幂的平凡化与 Rosenlicht 引理构造的 G 对 μ_n 的中心扩张。