[论文解读] Primes and the Lambert W function

Matt Visser|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2013

Sports Dynamics and Biomechanics参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文展示了Lambert W函数为研究素数分布提供了一种新颖的解析框架，对素数计数函数π(x)和第n个素数pₙ给出了紧致的上下界。通过利用W(x)的渐近展开，该研究推导出素数定理的等价形式，并揭示了对数项（如ln ln x）如何自然地从W-函数展开中产生。

ABSTRACT

The Lambert W function, implicitly defined by W(x) exp{W(x)}=x, is a "new" special function that has recently been the subject of an extended upsurge in interest and applications. In this note, I point out that the Lambert W function can also be used to gain a new perspective on the distribution of primes.

研究动机与目标

• 使用Lambert W函数建立素数计数函数π(x)的新解析界。
• 以Lambert W函数的形式重新表述素数定理及pₙ的渐近展开。
• 提供可显式计算的π(x)和pₙ的界，利用W-函数恒等式改进经典估计。
• 展示Lambert W函数如何自然地包含分析数论中出现的对数项（例如ln ln x）。
• 通过单一特殊函数框架统一素数理论中分散的结果。

提出的方法

• 通过将不等式x > π(x) ln π(x)反向并利用Lambert W函数，推导出π(x)的上界：π(x) < x / W(x) = e^{W(x)}。
• 应用渐近展开W₀(x) ~ ln x − ln ln x，证明当x → ∞时，π(x) ~ x / ln x与π(x) ~ x / W(x)等价。
• 通过使用不等式pₙ < n(ln n + ln ln n)构造π(x)的下界，经代换与对数界变换为W-函数不等式。
• 利用恒等式ln x ≤ x^ε / (ε e)（ε > 0）推导出以ε为参数的一族下界，得到涉及W(x / (1+ε) (ε e)^{-1/(1+ε)})的表达式。
• 应用W_{-1}分支推导pₙ的界，利用关系式pₙ < −n W_{-1}(−1/n)（n ≥ 4）。
• 推导出渐近等价式pₙ ~ −n W_{-1}(−1/n)，并证明其恢复了Cesàro–Cippola展开的前两项：n(ln n + ln ln n − 1 + o(1))。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lambert W函数能否用于推导素数计数函数π(x)的新界？
• RQ2 W(x)的渐近行为如何与素数定理相关联？
• RQ3 Lambert W函数能否统一或简化已知的pₙ界与渐近展开？
• RQ4 以W(x)表示且具有已知有效域的π(x)和pₙ的最紧致显式界是什么？
• RQ5 素数理论中如ln ln x等次主导项如何自然地从W-函数展开中产生？

主要发现

• 对所有x ≥ 0，素数计数函数满足严格上界π(x) < x / W(x) = e^{W(x)}。
• 当x → ∞时，渐近等价π(x) ~ x / W(x)成立，这与经典素数定理π(x) ~ x / ln x等价。
• 推导出以ε > 0为参数的一族π(x)的下界，其显式形式涉及W(x / (1+ε) (ε e)^{-1/(1+ε)})。
• 当ε = e^{-1}时，对x ≥ 5有π(x) > exp(W(x / (1+e^{-1}))) − 1；当ε = e^{-3}时，该不等式对所有x ≥ 0成立。
• 对n ≥ 4，第n个素数满足上界pₙ < −n W_{-1}(−1/n)，且当n → ∞时有渐近等价pₙ ~ −n W_{-1}(−1/n)。
• 渐近展开pₙ ~ −n W_{-1}(−e/n)恢复了Cesàro–Cippola展开的前三项：n(ln n + ln ln n − 1 + o(1))。