[论文解读] Primes in the denominators of Igusa Class Polynomials

Kristin Lauter|ArXiv.org|Jan 21, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 12

一句话总结

本文研究了具有四次CM域复乘的基因2曲线的Igusa类多项式分母中出现的素数。提出这些素数整除 $ d - x^2 $，其中 $ x $ 为满足 $ x^2 \leq d $ 的整数，$ d $ 为CM域的绝对判别式，并提供了支持该猜想的实验证据，该猜想与不良约化和超级奇异约化行为相关。

ABSTRACT

The purpose of this note is to suggest an analogue for genus 2 curves of part of Gross and Zagier's work on elliptic curves. Experimentally, for genus 2 curves with CM by a quartic CM field K, it appears that primes dividing the denominators of the discriminants of the Igusa class polynomials all have the property 1) that they are bounded by d, the absolute value of the discriminant of K, and 2) that they divide d-x^2, for some integer x whose square is less than d. A slightly stronger condition is given in Section 3. Such primes are primes of bad reduction for the genus 2 curve and primes of supersingular reduction for the Jacobian of the genus 2 curve.

研究动机与目标

• 理解具有复乘的基因2曲线的Igusa类多项式分母的结构。
• 识别这些多项式分母中可能出现的素数。
• 基于CM域的判别式，建立此类素数的猜想性表征。
• 提供一个用于界定计算这些类多项式时精度的框架。

提出的方法

• 利用Shimura理论，将四次CM域整数环中的理想类与具有主极化的阿贝尔簇相关联。
• 从CM型和理想类的整基计算周期矩阵 $ \Omega_i $。
• 对每个周期矩阵高精度计算十个偶数theta常数。
• 通过theta常数的组合推导出三个绝对Igusa不变量 $ j_1, j_2, j_3 $。
• 将Igusa类多项式 $ h_1, h_2, h_3 $ 定义为所有理想类的乘积。
• 推测这些多项式判别式分母中的素数整除 $ d - x^2 $，其中 $ x $ 为满足 $ x^2 \leq d $ 的整数。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些素数可能出现在具有四次域复乘的基因2曲线的Igusa类多项式分母中？
• RQ2 是否存在一个数论条件来表征此类素数？
• RQ3 这些素数是否对应于曲线的不良约化或其雅可比簇的超级奇异约化？
• RQ4 CM域的判别式能否预测此类素数的集合？
• RQ5 基于此表征，是否存在一个用于界定计算类多项式系数所需精度的边界？

主要发现

• Igusa类多项式判别式分母中的素数整除 $ d - x^2 $，其中 $ x $ 为满足 $ x^2 \leq d $ 的整数，$ d $ 为CM域的绝对判别式。
• 在所有测试案例中，这些素数整除 $ d_0 - x^2 $，其中 $ d_0 $ 为CM域相对于其实二次子域的相对判别式的范数。
• 这些素数恰好是基因2曲线的不良约化素数，也是其雅可比簇的超级奇异约化素数。
• 该猜想得到了多个案例的实验数据支持，包括作者及其合作者所测试的案例。
• 该结果提示了一种潜在方法，可用于界定计算Igusa类多项式时所需的精度，因为可能的分母集合受到约束。