[论文解读] Primitive prime divisor elements in finite classical groups

Cheryl E. Praeger|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2014

Finite Group Theory Research参考文献 41被引用 6

一句话总结

本文引入了有限经典群中的本原素因子（ppd）元素，并确立了其在随机化算法中识别有限域上经典矩阵群的关键作用。通过证明ppd元素足够频繁且可高效测试，作者实现了一种蒙特卡洛算法，以高概率和低计算成本识别给定群是否包含经典群$Ω$，该算法利用群论结构与高效的多项式算术。

ABSTRACT

This is an essay about a certain family of elements in the general linear group GL(d,q) called primitive prime divisor elements, or ppd-elements. A classification of the subgroups of GL(d,q) which contain such elements is discussed, and the proportions of ppd-elements in GL(d,q) and the various classical groups are given. This study of ppd-elements was motivated by their importance for the design and analysis of algorithms for computing with matrix groups over finite fields. An algorithm for recognising classical matrix groups, in which ppd-elements play a central role is described.

研究动机与目标

• 开发一种基于本原素因子（ppd）元素作为关键组件的随机化算法，用于在${\rm GL}(d,q)$中识别经典矩阵群。
• 对包含ppd元素的${\rm GL}(d,q)$的子群进行分类，以支持算法设计的结构分析。
• 估计经典群中ppd元素的比例，确保使用少量随机样本即可获得高检测概率。
• 提供高效计算测试以识别ppd元素，这对实际实现至关重要。
• 将识别算法扩展至标准ppd元素可能不存在的小维情况，通过使用修改后的元素类型。

提出的方法

• 该算法通过独立随机采样群元素来检测特定ppd元素，这些元素可指示经典群$Ω$的存在。
• ppd元素被定义为：其阶包含一个不整除$q^i - 1$（对所有$i < d$）的素因子，从而确保具有较大的素因子阶。
• 通过在${\rm GF}(q)[t]/\langle f(t)\rangle$中测试$g^{(q^e - 1)/\Phi(e,q)} \equiv 1 \pmod{f(t)}$，利用多项式算术验证ppd性质。
• 单个元素测试的代价由$O(d^{\omega+o(1)}(\log q)^{2+o(1)})$位运算界，其中$\omega$为矩阵乘法指数。
• 为实现失败概率小于$\varepsilon$，该算法需要$O(\log \varepsilon^{-1} + \log \log d)$个随机元素。
• 对于标准ppd元素可能不存在的小维情形，方法扩展至基本或大ppd元素，采用修改后的测试与分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 在${\rm SL}(d,q)$、${\rm Sp}(d,q)$和${\rm O}^\pm(d,q)$等经典群中，ppd元素的比例是多少？
• RQ2 ${\rm GL}(d,q)$的哪些子群包含ppd元素，以及如何对它们进行分类？
• RQ3 ppd元素在计算上能多高效地测试？验证其性质的代价是多少？
• RQ4 能否使用ppd元素设计一种可靠的随机化算法，以高概率和低失败率识别经典群？
• RQ5 当小维情形下标准ppd元素缺失时，算法应如何调整？

主要发现

• 在${\rm GL}(d,q)$和经典群中，ppd元素的比例下界为依赖于$d$和$q$的常数，确保使用少量样本即可获得高检测概率。
• 测试随机元素是否为ppd元素的代价为$O(d^{\omega+o(1)}(\log q)^{2+o(1)})$位运算，使其在大$d$和$q$下仍具可行性。
• 经典群识别算法使用$O(\log \varepsilon^{-1} + \log \log d)$个随机元素，使失败概率小于$\varepsilon$，总代价为$O((\log \varepsilon^{-1} + \log \log d)(\mu + d^{\omega+o(1)}(\log q)^{2+o(1)}))$位运算。
• 该算法成功识别了大型经典群：在200 MHz工作站上，${\rm SL}(5000,2)$耗时约3214 CPU秒，${\rm SL}(10000,2)$耗时约14334 CPU秒。
• 对于标准ppd元素缺失的小维情形，使用基本或大ppd元素的改进算法有效，如文献[33]所示。
• 该算法已在Magma和GAP中实现，其复杂度分析为群论与计算代数中类似识别方法奠定了坚实基础。